Question

【題目】如圖，已知△ABC中,AB=AC，利用直尺和圓規(guī)，根據(jù)下列要求作圖（保留作圖痕跡，不要求寫作法），并根據(jù)要求填空：

（1）作∠B的平分線BD，交AC于點(diǎn)D；

（2）作線段AB的垂直平分線EF，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F；

（3）如果點(diǎn)F與點(diǎn)D重合，則∠A= °．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）36°

【解析】

（1）以B為圓心，以任意長(zhǎng)度為半徑作弧，分別交AB、BC與M、N，分別以M、N為圓心，以大于MN為半徑作弧，連接B和兩弧的交點(diǎn)并延長(zhǎng)交AC于D，BD即為所求；

（2）分別以A、B為圓心，以大于AB為半徑作弧，連接兩弧的兩個(gè)交點(diǎn)交AB于E，交AC于F，EF即為所求；

（3）根據(jù)等邊對(duì)等角可得：∠ABC=∠ACB，再根據(jù)角平分線的定義可得：∠ABC=2∠ABF，然后根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和等邊對(duì)等角可得：∠FBA=∠A，從而得出∠ACB=∠ABC=2∠A，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列方程即可求出∠A.

解：（1）以B為圓心，以任意長(zhǎng)度為半徑作弧，分別交AB、BC與M、N，分別以M、N為圓心，以大于MN為半徑作弧，連接B和兩弧的交點(diǎn)并延長(zhǎng)交AC于D，如下圖所示，BD即為所求；

（2）分別以A、B為圓心，以大于AB為半徑作弧，連接兩弧的兩個(gè)交點(diǎn)交AB于E，交AC于F，如下圖所示EF即為所求；

（3）當(dāng)F、D重合時(shí)，如下圖所示，

∵AB=AC

∴∠ABC=∠ACB

∵BF平分∠ABC

∴∠ABC=2∠ABF

∵EF垂直平分AB

∴FB=FA

∴∠FBA=∠A

∴∠ACB=∠ABC=2∠A

∵∠ACB+∠ABC+∠A=180°

∴2∠A+2∠A+∠A=180°

解得：∠A=36°