Question

8．對于二次函數y=x²-3x+2和一次函數y=-2x+4，把y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4）稱為這兩個函數的“再生二次函數”，其中t是不為零的實數，其圖象記作拋物線E．現(xiàn)有點A（2，0）和拋物線E上的點B（-1，n），請完成下列任務：
【嘗試】
（1）當t=2時，拋物線y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4）的頂點坐標為（1，-2）；
（2）請你直接判斷點A是否在拋物線E上是；（填是或不是）
（3）n的值等于6．
【發(fā)現(xiàn)】
通過（2）和（3）的演算可知，對于t取任何不為零的實數，拋物線E總過定點，你認為定點的坐標為（2，0）和（-1，6）．
【應用一】
二次函數y=-3x²+5x+2是二次函數y=x²-3x+2和一次函數y=-2x+4的一個“再生二次函數”嗎？如果是，求出t的值；如果不是，請說明理由；
【應用二】
若拋物線E與x軸的另一個交點為C，△ABC的面積等于6，求拋物線E的解析式．

Answer 1

分析 （1）將t的值代入“再生二次函數”中，通過配方可得到頂點的坐標；
（2）將點A的坐標代入拋物線E上直接進行驗證即可；
（3）已知點B在拋物線E上，將該點坐標代入拋物線E的解析式中直接求解，即可得到n的值．
【發(fā)現(xiàn)】
將拋物線l展開，然后將含t值的式子整合到一起，令該式子為0（此時無論t取何值都不會對函數值產生影響），即可求出這個定點的坐標．
【應用1】
將【發(fā)現(xiàn)】中得到的兩個定點坐標代入二次函數y=-3x²+5x+2中進行驗證即可
【應用2】設拋物線E截x軸的線段長為a，先利用三角形的面積求出a的長，再根據點A的坐標求出與x軸的另一交點的坐標，然后代入拋物線求解即可得到t的值，從而得解．

解答 解：【嘗試】
（1）∵將t=2代入拋物線l中，得：y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=2x²-4x=2（x-1）²-2，
∴此時拋物線的頂點坐標為：（1，-2），
故答案為：（1，-2）；
（2）∵將x=2代入y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4），得 y=0，
∴點A（2，0）在拋物線l上，
故答案為：是；
（3）將x=-1代入拋物線l的解析式中，得：
n=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=6，
故答案為：6；
【發(fā)現(xiàn)】
∵將拋物線E的解析式展開，得：
y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=t（x-2）（x+1）-2x+4，
∴拋物線l必過定點（2，0）、（-1，6），
故答案為：（2，0）、（-1，6）；
【應用一】
將x=2代入y=-3x²+5x+2，y=0，即點A在拋物線上．
將x=-1代入y=-3x²+5x+2，計算得：y=-6≠6，
即可得拋物線y=-3x²+5x+2不經過點B，
二次函數y=-3x²+5x+2不是二次函數y=x²-3x+2和一次函數y=-2x+4的一個“再生二次函數；
【應用二】
由（1）得，拋物線E與x軸的一個交點為A（2，0），點B的坐標為（-1，6），
設拋物線E截x軸的線段長為a，則S=$\frac{1}{2}$a×6=6，
解得a=2，所以，與x軸的另一個交點為C（0，0）或（4，0），
當C點坐標為（0，0）時，y_E=2x²-4x；
當C點坐標為（4，0）時，y_E=x²-$\frac{12}{5}$x+$\frac{16}{5}$．

點評 本題考查了二次函數綜合題型，主要利用了聯(lián)立兩函數解析式求交點坐標，驗證點是否在二次函數圖象上，三角形的面積，二次函數圖象上點的坐標特征，讀懂題目信息，理解“再生二次函數”的定義是解題的關鍵．