Question

2．如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD，DC的中點(diǎn)，
（1）如果OE=$\frac{5}{2}$，EF=3，求菱形ABCD的周長和面積；
（2）連接OF，猜想：四邊形OEDF是什么特殊四邊形？并證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形中位線定理易求AB，AC的長，進(jìn)而可求出菱形的周長，再求出AC的長即可求出菱形的面積；
（2）猜想：四邊形OEDF是菱形，利用已知條件證明OE=OF=DF=DE即可．

解答 解：
（1）∵菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD，DC的中點(diǎn)，
∴OE=$\frac{1}{2}$AB，EF=$\frac{1}{2}$AC，
∵OE=$\frac{5}{2}$，EF=3，
∴AB=5，AC=6，
∴菱形ABCD的周長=4×5=20；
∵AO=$\frac{1}{2}$AC=3，AB=5，
∴BO=$\sqrt{A{B}^{2}-A{O}^{2}}$=4，
∴BD=2BO=8，
∴菱形ABCD的面積=$\frac{1}{2}$AC•BD=24；
（2）猜想：四邊形OEDF是菱形，理由如下：
∵點(diǎn)O，E分別是AC，AD的中點(diǎn)，
∴OE=$\frac{1}{2}$CD，
同理可得OF=$\frac{1}{2}$AD，DE=$\frac{1}{2}$AD，DF=$\frac{1}{2}$CD，AC=CD，
∴OE=OF=DF=DE，
∴四邊形OEDF是菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的判定和性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用以及菱形面積公式的運(yùn)用，熟記菱形的各種判定方法和各種性質(zhì)是解題關(guān)鍵．