【題目】如圖,△ABC是邊長為6的等邊三角形,P是AC邊上一動點,由A向C運動(與A、C不重合),Q是CB延長線上一點,與點P同時以相同的速度由B向CB延長線方向運動(Q不與B重合),過P作PE⊥AB于E,連接PQ交AB于D.

(1)當∠BQD=30°時,求AP的長;

(2)證明:在運動過程中,點D是線段PQ的中點;

(3)當運動過程中線段ED的長是否發(fā)生變化?如果不變,求出線段ED的長;如果變化請說明理由.

【答案】(1)2;(2)證明見解析;(3)3.

【解析】試題分析:(1)先判斷出∠QPC是直角,再利用含30°的直角三角形的性質(zhì)得出QC=2PC,建立方程求解決即可;
(2)先作出PFBC得出∠PFA=FPA=A=60°,進而判斷出DQB≌△DPF得出DQ=DP即可得出結(jié)論;
(3)利用等邊三角形的性質(zhì)得出EF=AF,借助DF=DB,即可得出DF=BF,最后用等量代換即可.

試題解析:(1)解:設(shè)AP=x,則BQ=x,
∵∠BQD=30°,C=60°,
∴∠QPC=90°
QC=2PC,即x+6=2(6-x),
解得x=2,
AP=2.
(2)證明:如圖,

P點作PFBC,交ABF,
PFBC,
∴∠PFA=FPA=A=60°
PF=AP=AF,
PF=BQ,
又∵∠BDQ=PDF,DBQ=DFP,
∴△DQB≌△DPF,
DQ=DPDPQ中點,
(3)運動過程中線段ED的長不發(fā)生變化,是定值為3,
理由:∵PF=AP=AF,PEAF,
EF=AF
又∵△DQB≌△DPF,
DF=DB,即DF=BF,
ED=EF+DF= (AF+BF)=AB=3.

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