Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，AB＝AC，點D為BC中點．∠MDN＝90°，∠MDN繞點D旋轉(zhuǎn)，DM、DN分別與邊AB、AC交于E、F兩點．下列結論：

①△DEF是等腰直角三角形；

②AE＝CF；

③△BDE≌△ADF；

④BE+CF＝EF；

⑤S四邊形AEDF＝AD2，

其中正確結論是_____（填序號）

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

先由ASA證明△AED≌△CFD，得出AE＝CF，DE＝FD；再由全等三角形的性質(zhì)得到BE+CF＝AB，由勾股定理求得EF與AB的值，通過比較它們的大小來判定④的正誤；先得出S四邊形AEDF＝S△ADC＝AD2，從而判定⑤的正誤．

解：∵Rt△ABC中，AB＝AC，點D為BC中點，

∴∠C＝∠BAD＝45°，AD＝BD＝CD，

∵∠MDN＝90°，

∴∠ADE+∠ADF＝∠ADF+∠CDF＝90°，

∴∠ADE＝∠CDF．

在△AED與△CFD中，

，

∴△AED≌△CFD（ASA），

∴AE＝CF，ED＝FD．故①②正確；

又∵△ABD≌△ACD，

∴△BDE≌△ADF．故③正確；

∵△AED≌△CFD，

∴AE＝CF，ED＝FD，

∴BE+CF＝BE+AE＝AB＝BD，

∵EF＝ED，BD＞ED，

∴BE+CF＞EF．故④錯誤；

∵△AED≌△CFD，△BDE≌△ADF，

∴S四邊形AEDF＝S△ADC＝AD2．故⑤錯誤．

綜上所述，正確結論是①②③．

故答案是：①②③．