【題目】問題探究
(1)如圖①,在△ABC 中,∠B=30°,E 是 AB 邊上的點,過點 E 作 EF⊥BC 于 F,則的值為 .
(2)如圖②,在四邊形 ABCD 中,AB=BC=6,∠ABC=60°,對角線 BD 平分∠ABC,點E 是對角線 BD 上一點,求 AE+ BE的最小值.
問題解決
(3)如圖③,在平面直角坐標系中,直線 y -x 4 分別于 x 軸,y 軸交于點 A、B,點 P 為直線 AB 上的動點,以 OP 為邊在其下方作等腰 Rt△OPQ 且∠POQ=90°.已知點C(0,-4),點 D(3,0)連接 CQ、DQ,那么DQ CQ是否存在最小值,若存在求出其最小值及此時點 P 的坐標,若不存在請說明理由.
【答案】(1) ;(2) ;(3)4.
【解析】
(1)利用直角三角形中,30°所對的直角邊等于斜邊的一半求解即可;
(2) 作EF⊥BC于F, 根據(jù)直角三角形中,30°所對的直角邊等于斜邊的一半,得到AE+BE=AE+EF ,再根據(jù)勾股定理得到AE+BE的最小值;
(3) 作PM⊥y軸于M,QN⊥y軸于N,易證△POM≌△OQN,根據(jù)當、Q、N共線時,Q+NQ最小求解即可.
解;(1) ∵EF⊥BC, ∴∠BFE=90°, ∵∠B=30°, ∴=;
(2)作EF⊥BC于F, ∵∠ABC=60°,對角線 BD 平分∠ABC,∴∠DBC=30°, ∴∠EF=BE, ∴AE+BE=AE+EF, ∴當點A、E、F三點在一條直線時,AE+BE 最小,∵∠ABF=60°, ∴∠BAF=30°, ∵AB=6, ∴BF=AB=3, ∴AF= , ∴AE+BE的最小值為.
(3) ∵y=-x+4, ∴B(0,4),A(4,0),
作PM⊥y軸于M,QN⊥y軸于N, ∴∠PMO=∠QNO=90°, ∵∠POM+MPO=∠POM+∠QON=90°∴∠MPO=∠QON, ∵PO=QO, ∴△POM≌△OQN,設BM=PM=ON=t,則OM=NQ=CN=4-t, ∴無論P在任何位置△CNQ都為等腰三角形,∠NCQ=45°,則Q點永遠在直線AC上,作D點關于直線AC的對稱點 , ∵D(3,0), ∴(4,-1),則DQ+NQ=Q+NQ, ∴當、Q、N共線時,Q+NQ最小,最小值是N=4.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,等邊三角形ABC的頂點B與原點O重合,點C在x軸上,點C坐標為(6,0),等邊三角形ABC的三邊上有三個動點D、E、F(不考慮與A、B、C重合),點D從A向B運動,點E從B向C運動,點F從C向A運動,三點同時運動,到終點結(jié)束,且速度均為1cm/s,設運動的時間為ts,解答下列問題:
(1)求證:如圖①,不論t如何變化,△DEF始終為等邊三角形.
(2)如圖②過點E作EQ∥AB,交AC于點Q,設△AEQ的面積為S,求S與t的函數(shù)關系式及t為何值時△AEQ的面積最大?求出這個最大值.
(3)在(2)的條件下,當△AEQ的面積最大時,平面內(nèi)是否存在一點P,使A、D、Q、P構(gòu)成的四邊形是菱形,若存在請直接寫出P坐標,若不存在請說明理由?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(14分)如圖,已知在矩形ABCD中,AB=a,BC=b,點E是線段AD邊上的任意一點(不含端點A、D),連結(jié)BE、CE.
(1)若a=5,AC=13,求b.
(2)若a=5,b=10,當BE⊥AC時,求出此時AE的長.
(3)設AE=x,試探索點E在線段AD上運動過程中,使得△ABE與△BCE相似時,求a、b應滿足什么條件,并求出此時x的值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知在平面直角坐標系中,AB 兩點的坐標分別為 A(1,4),B(5,1),P,Q 分別是 x 軸,y 軸 上兩個動點,則四邊形 ABPQ 的周長最小值為( )
A.5B.5 C.D.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知關于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有兩個實數(shù)根x1,x2.
(1)求m的取值范圍;
(2)當x12+x22=6x1x2時,求m的值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】請閱讀下列材料:
我們可以通過以下方法求代數(shù)式的最小值.
,
∵≥0,
∴當時, 有最小值.
請根據(jù)上述方法,解答下列問題:
(1),則的值是______;
(2)求證:無論x取何值,代數(shù)式的值都是正數(shù);
(3)若代數(shù)式的最小值為2,求k的值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知△ABC是邊長為4的等邊三角形,BC在x軸上,點D為BC的中點,點A在第一象限內(nèi),AB與y軸的正半軸交與點E,已知點B(﹣1,0).
(1)點A的坐標: ,點E的坐標: ;
(2)若二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c過點A、E,求此二次函數(shù)的解析式;
(3)P是線段AC上的一個動點(P與點A、C不重合)連結(jié)PB、PD,設L是△PBD的周長,當L取最小值時。
求:①點P的坐標
②判斷此時點P是否在(2)中所求的拋物線上,請充分說明你的判斷理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,點D在AB上,以BD為直徑的⊙O切AC于點E,連接DE并延長,交BC的延長線于點F.
(1)求證:△BDF是等邊三角形;
(2)連接AF、DC,若BC=3,寫出求四邊形AFCD面積的思路.
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