Question

14．如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且DE∥AB，過點E作EF⊥DE，交BC的延長線于點F．
（1）求∠F的度數(shù)；
（2）試猜想DC與CF的數(shù)量關系，并說明理由；
（2）若CD=2，求EF的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EDC=∠B=60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；
（2）根據(jù)已知條件得到△CDE是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得到∠DEC=∠ECD=60°，CD=CE，求得CE=CF，等量代換即可得到結論；
（3）易證△EDC是等邊三角形，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求解．

解答 解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°-∠EDC=30°；

（2）CD=CF，
理由：∵DE∥AB，
∴△CDE是等邊三角形，
∴∠DEC=∠ECD=60°，CD=CE，
∵∠F=30°，
∴∠CEF=∠ECD-∠F=30°，
∴CE=CF，
∴CD=CF；

（3）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，
∴△EDC是等邊三角形．
∴ED=DC=2，
∵∠DEF=90°，∠F=30°，
∴DF=2DE=4，
∴EF=$\sqrt{3}$DE=2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及直角三角形的性質(zhì)，熟記30度的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半是解題的關鍵．