Question

【題目】拋物線y= +x+m的頂點(diǎn)在直線y=x+3上，過點(diǎn)F（﹣2，2）的直線交該拋物線于點(diǎn)M、N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊），MA⊥x軸于點(diǎn)A，NB⊥x軸于點(diǎn)B．

（1）先通過配方求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（坐標(biāo)可用含m的代數(shù)式表示），再求m的值；
（2）設(shè)點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為a，試用含a的代數(shù)式表示點(diǎn)N的縱坐標(biāo)，并說明NF=NB；
（3）若射線NM交x軸于點(diǎn)P，且PAPB= ，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：y= x2+x+m= （x+2）2+（m﹣1）

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，m﹣1）

∵頂點(diǎn)在直線y=x+3上，

∴﹣2+3=m﹣1，

得m=2

（2）

解：過點(diǎn)F作FC⊥NB于點(diǎn)C，

∵點(diǎn)N在拋物線上，

∴點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為： a2+a+2，

即點(diǎn)N（a， a2+a+2）

在Rt△FCN中，F(xiàn)C=a+2，NC=NB﹣CB= a2+a，

∴NF2=NC2+FC2=（ a2+a）2+（a+2）2，

=（ a2+a）2+（a2+4a）+4，

而NB2=（ a2+a+2）2，

=（ a2+a）2+（a2+4a）+4

∴NF2=NB2，

NF=NB

（3）

解：連接AF、BF，

由NF=NB，得∠NFB=∠NBF，由（2）的思路知，MF=MA，

∴∠MAF=∠MFA，

∵M(jìn)A⊥x軸，NB⊥x軸，

∴MA∥NB，

∴∠AMF+∠BNF=180°

∵△MAF和△NFB的內(nèi)角總和為360°，

∴2∠MAF+2∠NBF=180°，∠MAF+∠NBF=90°，

∵∠MAB+∠NBA=180°，

∴∠FBA+∠FAB=90°，

又∵∠FAB+∠MAF=90°，

∴∠FBA=∠MAF=∠MFA，

又∵∠FPA=∠BPF，

∴△PFA∽△PBF，

∴ ，PF2=PA×PB= ，

過點(diǎn)F作FG⊥x軸于點(diǎn)G，在Rt△PFG中，

PG= = ，

∴PO=PG+GO= ，

∴P（﹣ ，0）

設(shè)直線PF：y=kx+b，把點(diǎn)F（﹣2，2）、點(diǎn)P（﹣ ，0）代入y=kx+b，

解得k= ，b= ，

∴直線PF：y= x+ ，

解方程 x2+x+2= x+ ，

得x=﹣3或x=2（不合題意，舍去），

當(dāng)x=﹣3時(shí)，y= ，

∴M（﹣3， ）．

【解析】（1）利用配方法將二次函數(shù)整理成頂點(diǎn)式即可，再利用點(diǎn)在直線上的性質(zhì)得出答案即可；（2）首先利用點(diǎn)N在拋物線上，得出N點(diǎn)坐標(biāo)，再利用勾股定理得出NF2=NC2+FC2 ， 進(jìn)而得出NF2=NB2 ， 即可得出答案；（3）求點(diǎn)M的坐標(biāo)，需要先求出直線PF的解析式．首先由（2）的思路得出MF=MA，然后連接AF、FB，通過證明△PFA∽△PBF，利用相關(guān)的比例線段將PAPB的值轉(zhuǎn)化為PF的值，進(jìn)而求出點(diǎn)F的坐標(biāo)和直線PF的解析式，即可得解．