Question

用1～8共八個(gè)數(shù)字，組成兩個(gè)四位數(shù)，它們的最小公倍數(shù)的最小可能值記為a，它們的最大公約數(shù)的最大可能值記為b，求乘積ab的值．

Answer 1

考點(diǎn)：約數(shù)與倍數(shù)

專題：

分析：1-8這八個(gè)數(shù)字組成兩個(gè)四位數(shù)，顯然兩個(gè)四位數(shù)不相等，設(shè)其中較大數(shù)為M，較小數(shù)為N．易知：N的千位最大是4，最小是1．
（1）要使最小公倍數(shù)a最小，那這兩個(gè)四位數(shù)應(yīng)該是兩倍關(guān)系：分析得到N=1728、M=3456，根據(jù)最小公倍數(shù)的求法得到a的值；
（2）要使最大公約數(shù)最大，這兩個(gè)四位數(shù)也應(yīng)該是兩倍關(guān)系：分析得到M=8352、N=4176，根據(jù)最大公約數(shù)的求法得到b的值；
兩者相乘即可求解．

解答：解：1-8這八個(gè)數(shù)字組成兩個(gè)四位數(shù)，顯然兩個(gè)四位數(shù)不相等，設(shè)其中較大數(shù)為M，較小數(shù)為N．易知：N的千位最大是4，最小是1．
（1）要使最小公倍數(shù)a最小，那這兩個(gè)四位數(shù)應(yīng)該是兩倍關(guān)系：若N的前兩位是12，則M的前兩位必是24或25，2出現(xiàn)重復(fù)，不符合題意；若N的前兩位是13，當(dāng)M的前兩位是26時(shí)，剩下的數(shù)字4、5、7、8不可能組成兩個(gè)兩位數(shù)，且二者是兩倍關(guān)系；當(dāng)M的前兩位是27時(shí)，剩下的數(shù)字4、5、6、8也不可能組成兩個(gè)兩位數(shù)，其中一個(gè)兩位數(shù)的兩倍等于另一個(gè)兩位數(shù)的兩倍再加上100，故N的前兩位不可能是13．若N的前兩位是14，則M的前兩位必是28，此時(shí)剩下的數(shù)字3、5、6、7不可能組成兩個(gè)兩位數(shù)，且二者是兩倍關(guān)系，即N的前兩位也不可能是14若N的前兩位是15，則M的前兩位無論是30或31均不符合題意；若N的前兩位是16，則M的前兩位無論是32或33均不符合題意；若N的前兩位是17，當(dāng)M的前兩位是34時(shí)，剩下的數(shù)字2、5、6、8可組成28×2=56或25，符合題意，此時(shí)N=1728、M=3456，a=M=3456；
（2）要使最大公約數(shù)最大，這兩個(gè)四位數(shù)也應(yīng)該是兩倍關(guān)系：當(dāng)N的千位是4時(shí)，M的千位是8，問題轉(zhuǎn)化成剩下的1、2、3、5、6、7組成兩個(gè)三位數(shù)，且其中一個(gè)三位數(shù)是另一個(gè)三位數(shù)的兩倍．此時(shí)只有176×2=352成立，故M=8352、N=4176．所以b=4176；
綜上所述，ab=3456×4176=14432256．
答：乘積ab的值是14432256．

點(diǎn)評(píng)：考查了約數(shù)與倍數(shù)，本題關(guān)鍵是理解要使最小公倍數(shù)a最小，兩個(gè)四位數(shù)應(yīng)該是兩倍關(guān)系；要使最大公約數(shù)最大，兩個(gè)四位數(shù)也應(yīng)該是兩倍關(guān)系．