Question

【題目】如圖，點(diǎn)O在∠APB的平分線(xiàn)上，⊙O與PA相切于點(diǎn)C．

（1）求證：直線(xiàn)PB與⊙O相切；
（2）PO的延長(zhǎng)線(xiàn)與⊙O交于點(diǎn)E．若⊙O的半徑為3，PC=4．求弦CE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC，作OD⊥PB于D點(diǎn)．

∵⊙O與PA相切于點(diǎn)C， ∴OC⊥PA

（2）解：設(shè)PO交⊙O于F，連接CF．

∵OC=3，PC=4，∴PO=5，PE=8．

∵⊙O與PA相切于點(diǎn)C， ∴∠PCF=∠E．

又∵∠CPF=∠EPC， ∴△PCF∽△PEC，

∴CF：CE=PC：PE=4：8=1：2．

∵EF是直徑， ∴∠ECF=90°．

設(shè)CF=x，則EC=2x．

則x2+（2x）2=62， 解得x= ．

則EC=2x= ．

【解析】要證明直線(xiàn)PB與⊙O相切，添加輔助線(xiàn)連接OC，作OD⊥PB于D點(diǎn)，再證明OD是圓的半徑，根據(jù)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等及切線(xiàn)的性質(zhì)，易證得結(jié)論。
（2）根據(jù)已知易證得△PCF∽△PEC，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，證出CF：CE=1：2．再根據(jù)EF是直徑得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理求解即可。