Question

8．已知：如圖，在等邊三角形ABC中，點D、E分別在直線AB、直線AC上，且AE=BD．
（1）當點D、E分別在邊AC、邊AB上時，如圖1所示，EB與CD相交于點G，求∠CGE的度數(shù)；
（2）當點D、E分別在邊CA、邊AB的延長線上時，如圖2所示，∠CGE的度數(shù)是否變化？如不變，請說明理由．如變化，請求出∠CGE的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB=BC，∠A=∠ABC=60°，推出△ABE≌△BCD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ABE=∠BCD，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到結論；
（2）由三角形ABC為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到AB=BC，∠ACB=∠ABC=60°，利用等角的補角相等得到夾角相等，利用SAS得到三角形ABE與三角形BCD全等，利用全等三角形的對應角相等得到∠D=∠E，利用外角性質(zhì)及等量代換即可得證．

解答 解：（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=BC，∠A=∠ABC=60°，
在△ABE和△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=BD}\\{∠A=∠DBC}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCD，
∴∠ABE=∠BCD，
∵∠ABE+∠CBG=60°，
∴∠BDG+∠CBG=60°，
∵∠CGE=∠BCG+∠CBG，
∴∠CGE=60°；

（2）證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=BC，∠CAB=∠ABC=60°，
∴∠EAB=∠CBD=120°，
在△ABE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠EAB=∠CBD}\\{AE=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCD（SAS），
∴∠D=∠E，
∵∠ABE=∠DBG，∠CAB=∠E+ABE=60°，
∴∠CGE=∠D+∠DBG=60°．

點評 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關鍵．