Question

已知：在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）請在線段BC上作一點D，使點D到邊AC、AB的距離相等（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．
 （2）在（1）的條件下，若AC=6，BC=8，請求出CD的長度．

Answer 1

考點：角平分線的性質(zhì),勾股定理,作圖—基本作圖

專題：

分析：（1）根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等知作出∠A的平分線即可；
（2）設(shè)CD的長為x，然后用x表示出DB、DE、BF利用勾股定理得到有關(guān)x的方程，解之即可．

解答：解：（1）如圖所示：所以點D為所求；


（2）過點D做DE⊥AB于E，設(shè)DC=x，則BD=8-x
∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8
∴由勾股定理得AB=

AC2+BC2

=10…（3分）
∵點D到邊AC、AB的距離相等
∴AD是∠BAC的平分線
又∵∠C=90°，DE⊥AB
∴DE=DC=x，
在Rt△ACD和Rt△AED中，

AD=AD DC=DE

，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE=AC=6，
∴BE=4，
Rt△DEB中，∠DEB=90°，
∴由勾股定理得DE²+BE²=BD²，
即x²+4²=（8-x）²，
解得x=3．
答：CD的長度為3．

點評：本題考查了勾股定理的應(yīng)用，通過本題使同學(xué)們明白勾股定理不但可以在直角三角形中求線段的長，而且可以根據(jù)其列出等量關(guān)系．