Question

9．⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，過$\widehat{BC}$的中點P作⊙O的直徑PG，與弦BC相交于點D，連接AG、CP、PB．
（1）如圖1，求證：AG=CP；
（2）如圖2，過點P作AB的垂線，垂足為點H，連接DH，求證：DH∥AG；
（3）如圖3，連接PA，延長HD分別與PA、PC相交于點K、F，已知FK=2，△ODH的面積為2$\sqrt{21}$，求AC的長．

Answer 1

分析 （1）利用等弧所對的圓周角相等即可求解；
（2）利用等弧所對的圓周角相等，得到角相等∠APG=∠CAP，判斷出△BOD≌△POH，再得到角相等，從而判斷出線平行；
（3）由三角形相似，得出比例式，△HON∽△CAM，$\frac{OH}{AC}=\frac{HN}{CM}$，再判斷出四邊形CDHM是平行四邊形，最后經(jīng)過計算即可求解．

解答 （1）證明：∵過$\widehat{BC}$的中點P作⊙O的直徑PG，
∴CP=PB，
∵AB，PG是相交的直徑，
∴AG=PB，
∴AG=CP；
（2）證明：如圖 2，連接BG

∵AB、PG都是⊙O的直徑，
∴四邊形AGBP是矩形，
∴AG∥PB，AG=PB，
∵P是弧BC的中點，
∴PC=BC=AG，
∴弧AG=弧CP，
∴∠APG=∠CAP，
∴AC∥PG，
∴PG⊥BC，
∵PH⊥AB，
∴∠BOD=90°=∠POH，
在△BOD和△POH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BOD=∠POH}\\{∠BOD=∠BOD}\\{OB=OP}\end{array}\right.$，
∴△BOD≌△POH，
∴OD=OH，
∴∠ODH=$\frac{1}{2}$（180°-∠BOP）=∠OPB，
∴DH∥PB∥AG．
（3）解：如圖3，作CM⊥AP于M，ON⊥DH于N，

∴∠HON=$\frac{1}{2}$∠BOP=$\frac{1}{2}$∠COP=∠CAP，
∴△HON∽△CAM，
∴$\frac{OH}{AC}=\frac{HN}{CM}$，
作PQ⊥AC于Q，
∴四邊形CDPQ是矩形，
△APH與△APQ關(guān)于AP對稱，
∴HQ⊥AP，
由（1）有：HK⊥AP，
∴點K在HQ上，
∴CF=PF，
∴FK是△CMP的中位線，
∴CM=2FK=4，MF=PF，
∵CM⊥AP，HK⊥AP，
∴CM∥HK，
∴∠BCM+∠CDH=180°，
∵∠BCM=∠CAP=∠BAP=∠PHK=∠MHK，
∴∠MHK+∠CDH=180°，
∴四邊形CDHM是平行四邊形，
∴DH=CM=4，DN=HN=2，
∵S_△ODH=$\frac{1}{2}$DH×ON=$\frac{1}{2}$×4×ON=2$\sqrt{21}$，
∴ON=$\sqrt{21}$，
∴OH=$\sqrt{{HN}^{2}{+ON}^{2}}$=5，
∴AC=$\frac{OH×CM}{HN}$=10．

點評 此題是圓的綜合題，主要考查了相似，圓中的一些角的關(guān)系，解本題的關(guān)鍵是判斷出平行線，難點是作輔助線．