Question

如圖，Rt△ABC中∠C=90°且AC=CD=

2

，又E、D為CB的三等分點(diǎn)．
（1）求證△ADE∽△BDA；
（2）證明：∠ADC=∠AEC+∠B；
（3）若點(diǎn)P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接PE則使線段PE的長(zhǎng)度為整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)

 

．（直接寫(xiě)答案無(wú)需說(shuō)明理由）

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）利用勾股定理求得AD、DE的長(zhǎng)，再根據(jù)BD、AD的長(zhǎng)，利用兩邊對(duì)應(yīng)相等，且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似，即可判斷；
（2）利用相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等以及三角形的外角的性質(zhì)即可判斷；
（3）作EF⊥AB于點(diǎn)F，利用△ABC∽△EBF，求得EF的長(zhǎng)，即可確定PE的長(zhǎng)的范圍，從而求解．

解答：解：（1）證明：∵AC=CD=

2

，
∴AD=

AC2+CD2

=2，
∴在△ADE和△BDA中，

AD

DE

=

2

2

=

2

，

BD

AD

=

2 2

2

=

2

，
∴

AD

DE

=

BD

AD

，
又∵∠ADE=∠BDA，
∴△ADE∽△BDA；
（2）證明：∵△ADE∽△BDA，
∴∠ADE=∠BAD，
又∵∠ADC=∠B+∠BAD，
∴∠ADC=∠B+∠AEC；
（3）作EF⊥AB于點(diǎn)F．
在直角△ABC中，AB=

AC2+BC2

=

( 2 )2+(3 2 )2

=2

5

．
∵∠BFE=∠C=90°，∠B=∠B，
∴△ABC∽△EBF，
∴

EF

AC

=

BE

AB

，即

EF

2

=

2

2 5

，
解得：EF=

5

5

＜1．
又∵BE=

2

，AE=

AC2+CE2

=

( 2 )2+(2 2 )2

=

10

，
則

5

5

≤PE≤

10

，PE的整數(shù)值是1或2．
則當(dāng)PE=1時(shí)，P的位置有2個(gè)；
當(dāng)PE=2時(shí)，P的位置有1個(gè)．
故PE的整數(shù)點(diǎn)有3個(gè)．
故答案是：3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線，利用相似三角形的性質(zhì)求得PE的范圍是關(guān)鍵．