Question

【題目】問題探究：在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O．

探究1：如圖1，若點(diǎn)P是對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)，求線段AP的長(zhǎng)的取值范圍；

探究2：如圖2，若點(diǎn)P是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是AB邊和對(duì)角線AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)AP的值在探究1中的取值范圍內(nèi)變化時(shí)，△PMN的周長(zhǎng)是否存在最小值？如果存在，請(qǐng)求出△PMN周長(zhǎng)的最小值，若不存在，請(qǐng)說明理由；

問題解決：如圖3，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，且AP=4，點(diǎn)M、N分別是AB邊和對(duì)角線AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)△PMN的周長(zhǎng)取到最小值時(shí)，直接求四邊形AMPN面積的最大值。

Answer 1

【答案】（1）2≤PA≤4；（2）存在，2；（3）16–8.

【解析】

（1）當(dāng)P與O重合時(shí)，PA的值最小，最小值為，當(dāng)P與B或D重合時(shí)，PA的值最大，最大值為4，即可得線段AP的長(zhǎng)的取值范圍；

（2）存在，如圖2中，作點(diǎn)P關(guān)于AB、AC的對(duì)稱點(diǎn)E、F，連接EF交AB于M，交AC于N，連接AE、AF、PA，由PM＋MN＋PN＝EM＋MN＋NF＝EF，推出點(diǎn)P位置確定時(shí)，此時(shí)△PMN的周長(zhǎng)最小，最小值為線段EF的長(zhǎng)，由∠PAM＝∠EAM，∠PAN＝∠FAN，∠BAC＝45°，推出∠EAF＝2∠BAC＝90°，由PA＝PE＝PF，推出△EAF是等腰直角三角形，由PA的最小值為，可得線段EF的最小值為2，由此即可解決問題，（3）如圖3中，在圖2的基礎(chǔ)上，以A為圓心AB為半徑作⊙A，PA交EF于點(diǎn)O，由△MAP≌△MAE，△NAP≌△NAF，推出S四邊形AMPN＝S△AEM＋S△ANF＝S△AEF－S△AMN，由此可以知道△AMN的面積最小時(shí)，四邊形AMPN面積最大.

（1）如圖1中，

∵四邊形ABCD是正方形，邊長(zhǎng)為4，

∴AC⊥BD，AC=BD=4，

∴當(dāng)P與O重合時(shí)，PA的值最小最小值=2，

當(dāng)P與B或D重合時(shí)，PA的值最大，最大值為4，

∴2≤PA≤4．

（2）存在．

理由：如圖2中，作點(diǎn)P關(guān)于AB、AC的對(duì)稱點(diǎn)E、F，連接EF交AB于M，交AC于N，連接AE、AF、PA．

∵PM+MN+PN=EM+MN+NF=EF，

∴點(diǎn)P位置確定時(shí)，此時(shí)△PMN的周長(zhǎng)最小，最小值為線段EF的長(zhǎng)，

∵∠PAM=∠EAM，∠PAN=∠FAN，∠BAC=45°，

∴∠EAF=2∠BAC=90°，

∵PA=PE=PF，∴△EAF是等腰直角三角形，

∵PA的最小值為，∴線段EF的最小值為2，

∴△PMN的周長(zhǎng)的最小值為2．

（3）8–（8–8）=16–8