Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E點，點P是線段AD上一動點，點F是線段AB上一動點，連接PE、PF，則PE+PF的最小值是

 

．

Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題

專題：

分析：利用角平分的性質(zhì)得出CD=DE，再利用全等三角形的性質(zhì)得出AC=AE，再利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出PE+PF的最小值．

解答：解：連接EC，過點C作CF⊥AB，交AD與點P．
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠EAD，
∵∠ACD=∠AED=90°
∴CD=DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中

AD=AD CD=DE

∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE，
∵∠CAD=∠EAD，
∴AD垂直平分EC，
∴PC=PE，
此時CF=PC+PF=PE+PF最小，
在Rt△AFB′中，∵∠CAB=45°，AC=BC=2，
∴CF=AC•sin45°=2×

2

2

=

2

，
∴PE+PF的最小值為

2

．
故答案為：

2

．

點評：此題主要考查了利用軸對稱求最短路徑問題以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，根據(jù)已知得出對應(yīng)點P位置是解題關(guān)鍵．