Question

18．先閱讀下面的材料，然后解答問題：
已知：如圖1，等腰△ABC中，∠B=90°，AD是∠BAC的角平分線，交BC邊于D．
求證：AC=AB+BD．
證明：如圖1，在AC上截取AE=AB，連接DE．
則由已知條件易知：△ADB≌△ADE（SAS）
∴∠AED=∠B=90°，BD=DE．
又∵等腰△ABC中，∠B=90°
∴∠C=45°，
∴∠EDC=∠C=45°，
∴DE=EC
∴AC=AE+EC=AB+BD
我們將這種證明一條線段等于另兩條線段和的方法稱為“截長法”．
解決問題：現(xiàn)將原題中“AD是∠BAC的角平分線，且交BC邊于D”換成“AD是△ABC外角∠BAF的平分線，交CB邊的延長線于點D（如圖2）”其它條件不變，請你猜想線段AC、AB、BD之間的數(shù)量關系，并證明你的猜想．

Answer 1

分析 在CA的延長線上截取AE=AB，然后利用“邊角邊”證明△ADB和△ADE全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BE=DB，全等三角形對應角相等可得∠AED=∠ADB=90°，然后判斷出△DEC是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質可得DE=CE，然后求解即可．

解答 猜想：線段AC、AB、BD之間的數(shù)量關系是BD=AB+AC．
證明：如圖，在CA的延長線上截取AE=AB，
∵AD是∠BAC的角平分線，
∴∠BAD=∠EAD，
在△ADB和△ADE中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{∠BAD=∠EAD}\\{AE=AB}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△ADE（SAS），
∴BE=DB，∠AED=∠ADB=90°，
∵等腰△ABC中∠C=45°，
∴△DEC是等腰直角三角形，
∴DE=CE，
∴BD=DE=CE=AE+AC=AB+AC，
即BD=AB+AC．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，讀懂題目信息，理解“截長法”的操作方法是解題的關鍵．