Question

如圖，在?ABCD中，AB=4，∠BAD的平分線與BC的延長線交于點E，與DC交于點F，且點F為邊DC的中點，DG⊥AE，垂足為G，若DG=1，求點E到直線AB的距離．

Answer 1

考點：平行四邊形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：過E作EM⊥AB，由在平行四邊形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分線與BC的延長線交于點E，易證得△ADF是等腰三角形，又由點F為邊DC的中點，可求得AG=GF=

3

，又由△ADF∽△ECF，即可求得AE長，再利用三角函數(shù)可算出EM的長．

解答：解：過E作EM⊥AB，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，CD=AB=4，
∴∠AFD=∠BAF，
∵點F為邊DC的中點，
∴DF=

1

2

CD=2，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAF=∠BAF，
∴∠DAF=∠AFD，
∴AD=DF=2，
∵DG⊥AE，
∴AG=FG=

AD2-DG2

=

3

，∴AF=2

3

，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△ECF，
∴AF：EF=DF：CF=1，
∴EF=AF=2

3

，
∴AE=4

3

．
∵AD=2，DG=1，∠DGA=90°，
∴sin∠DAG=

DG

AD

=

1

2

，
∴sin∠EAB=

1

2

，
∴EM=4

3

×

1

2

=2

3

．
∴點E到直線AB的距離是2

3

．

點評：此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用．