Question

17．如圖，一次函數(shù)y=kx+b（b＜0）的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{π}{x}$的圖象交于點(diǎn)P，點(diǎn)P在第一象限，PA⊥x軸于點(diǎn)A，PB⊥y軸于點(diǎn)B．一次函數(shù)的圖象分別交x軸、y軸于點(diǎn)C、D，且S_△PAC=1，$\frac{OB}{OD}$=$\frac{1}{2}$，tan∠ACP=$\frac{1}{2}$．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用三角形面積求法結(jié)合銳角三角函數(shù)關(guān)系得出AP的長，進(jìn)而得出OD的長；
（2）利用（1）中所求，利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式即可．

解答 解：（1）∵S_△PAC=1，tan∠ACP=$\frac{1}{2}$，
∴設(shè)AP=x，則AC=2x，故$\frac{1}{2}$x•2x=1，
解得：x=1，
即OB=AP=1，AC=2，
∵$\frac{OB}{OD}$=$\frac{1}{2}$，
∴DO=2，
∴D（0，-2）；

（2）∵tan∠ACP=tan∠OCD=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OD}{OC}$=$\frac{1}{2}$，
由（1）得：DO=2，
則CO=4，
∴OA=6，
P（6，1），
將P點(diǎn)代入y=$\frac{m}{x}$，
解得：m=6，
故反比例函數(shù)解析式為：y=$\frac{6}{x}$，
將D（0，-2），P（6，1）代入y=kx+b得：
$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{6k+b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{k=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．
故一次函數(shù)解析式為：y=$\frac{1}{2}$x-2．

點(diǎn)評 此題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及銳角三角函數(shù)關(guān)系，根據(jù)題意得出P點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．