Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（-3，0），B（-2，-2），將線段AB平移至線段CD，連接AC，BD．
（1）若點(diǎn)C在y軸的正半軸上，點(diǎn)D在第一象限內(nèi)，且△ACD面積為5，求點(diǎn)C點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使線段AB平移至PQ時(shí)，由A、B、Q、P四點(diǎn)構(gòu)成了平行四邊形面積等于10？若存在，請(qǐng)求出P，Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：坐標(biāo)與圖形性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì),坐標(biāo)與圖形變化-平移

專題：計(jì)算題

分析：（1）設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，t）（t＞0），根據(jù)平移的性質(zhì)，相當(dāng)于把點(diǎn)A（-3，0）向右平移3個(gè)單位，再向上平移t個(gè)單位得到點(diǎn)C，所以點(diǎn)B（-2，-2）向右平移3個(gè)單位，再向上平移t個(gè)單位得到點(diǎn)D，所以D點(diǎn)坐標(biāo)表示為（1，t-2），利用面積的和差得到S_△ACD=

1

2

•3•t+

1

2

（t-2+t）•1-

1

2

•4•（t-2）=5，解得t=4，即可得到C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4），D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）；
（2）由平行四邊形的性質(zhì)得△APQ的面積為5，則A、B、Q、P四點(diǎn)構(gòu)成了平行四邊形面積等于10，于是由（1）得到P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4），Q點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）滿足要求；
當(dāng)點(diǎn)P在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，t）（t＜0），與（1）一樣得S_△ACD=

1

2

•4•（-t+2）-

1

2

•3•（-t）-

1

2

（-t+2-t）•1=5，解得t=4（舍去）；所以由A、B、Q、P四點(diǎn)構(gòu)成了平行四邊形面積等于10時(shí)，P，Q的坐標(biāo)為（0，4），（1，2）．

解答：解：（1）設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，t）（t＞0），則把點(diǎn)A（-3，0）向右平移3個(gè)單位，再向上平移t個(gè)單位得到點(diǎn)C，所以點(diǎn)B（-2，-2）向右平移3個(gè)單位，再向上平移t個(gè)單位得到點(diǎn)D，所以D點(diǎn)坐標(biāo)表示為（1，t-2），
所以S_△ACD=

1

2

•3•t+

1

2

（t-2+t）•1-

1

2

•4•（t-2）=5，解得t=4，
所以C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4），D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）；
（2）存在．
當(dāng)點(diǎn)P在y軸的正半軸上時(shí)，由（1）得到P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4），Q點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）；
當(dāng)點(diǎn)P在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，t）（t＜0），則把點(diǎn)A（-3，0）向右平移3個(gè)單位，再向下平移|t|個(gè)單位得到點(diǎn)C，所以點(diǎn)B（-2，-2）向右平移3個(gè)單位，再向下平移|t|個(gè)單位得到點(diǎn)Q，所以Q點(diǎn)坐標(biāo)表示為（1，t-2），
所以S_△ACD=

1

2

•4•（-t+2）-

1

2

•3•（-t）-

1

2

（-t+2-t）•1=5，解得t=4（舍去）．
所以由A、B、Q、P四點(diǎn)構(gòu)成了平行四邊形面積等于10時(shí)，P，Q的坐標(biāo)為（0，4），（1，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)：利用點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算出對(duì)應(yīng)的線段長(zhǎng)和判斷線段與坐標(biāo)軸的位置關(guān)系．也考查了平移的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)．