Question

4．一般地，如果在一次實(shí)驗(yàn)中，結(jié)果落在區(qū)域D中每一個(gè)點(diǎn)都是等可能的，用A表示“實(shí)驗(yàn)結(jié)果落在D中的某個(gè)小區(qū)域M中”這個(gè)事件，那么事件A發(fā)生的概率P（A）=$\frac{M}{D}$（M和D分別表示相應(yīng)區(qū)域的面積）．如圖，現(xiàn)有一邊長(zhǎng)為a的等邊△ABC，分別以此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以一邊的一半長(zhǎng)為半徑畫圓與△ABC的內(nèi)切圓有重疊（見圖中陰影部分）；現(xiàn)在在等邊△ABC內(nèi)注射一個(gè)點(diǎn)，則該點(diǎn)落在△ABC內(nèi)切圓中的概率是$\frac{\sqrt{3}π}{9}$．

Answer 1

分析 利用等邊三角形以及其內(nèi)切圓的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系得出DO，AD的長(zhǎng)，從而可以求得△ABC的面積和內(nèi)切圓的面積，本題得以解決．

解答 解：作AD⊥BC于點(diǎn)D，作BE⊥AC于點(diǎn)E，
∵等邊△ABC的邊長(zhǎng)為a，
∴∠OBD=30°，BD=$\frac{a}{2}$，AD=$\frac{\sqrt{3}a}{2}$
∴OD=BD•tan30°=$\frac{a}{2}•\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}a}{6}$，
∴內(nèi)切圓⊙O的面積是：$π×（\frac{\sqrt{3}a}{6}）^{2}=\frac{π{a}^{2}}{12}$，
等邊△ABC的面積是：$\frac{1}{2}×a×\frac{\sqrt{3}a}{2}=\frac{\sqrt{3}{a}^{2}}{4}$，
∴該點(diǎn)落在△ABC內(nèi)切圓中的概率是：$\frac{\frac{π{a}^{2}}{12}}{\frac{\sqrt{3}{a}^{2}}{4}}=\frac{\sqrt{3}π}{9}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{3}π}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了幾何概率以及三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，得出等邊三角形與內(nèi)切圓的關(guān)系是解題關(guān)鍵．