Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=10，cosB=

3

5

，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒a個(gè)單位（a＞0）的速度沿BA勻速向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q同時(shí)以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)D出發(fā)，沿DB勻速向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）BC=

 

；
（2）若a=2，
①設(shè)三角形BPQ的面積為y，求y與t的函數(shù)表達(dá)式，并求y的最大值；
②求t為何值時(shí)，以Q為圓心、以PQ為半徑的圓與AB相切；
（3）設(shè)點(diǎn)M在AC上，四邊形PQCM為平行四邊形．
①若a=

5

2

，求PQ的長(zhǎng)；
②是否存在實(shí)數(shù)a，使得點(diǎn)P在∠ACB的平分線上？若存在，請(qǐng)求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）通過(guò)解直角三角函數(shù)即可求得；
（2）①根據(jù)已知條件PB=2t，BQ=6-t，然后根據(jù)cosB=

3

5

即可求得三角形的高PE，最后根據(jù)三角形的面積公式即可求得；②根據(jù)切線的性質(zhì)判斷三角形PBQ是直角三角形，然后根據(jù)cosB=

3

5

即可求解；
（3）①根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平行線分線段成比例定理即可求得，②根據(jù)已知可得到PB=PM，然后根據(jù)平行線分線段成比例求得t的值為負(fù)數(shù)，即可判斷；

解答：解：（1）如圖1，連接AD，
∵AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC=10，cosB=

3

5

，
∴DC=BD=6，
∴BC=12，

（2）①如圖1，過(guò)P作PE⊥BC于E，
∵cosB=

3

5

，
∴sinB=

4

5

，
∵sinB=

PE

PB

=

4

5

，PB=at=2t，
∴PE=

8

5

t，
∴y=

1

2

BQ•PE=

1

2

（6-t）×

8

5

t=

24

5

t-

4

5

t²，
即y=-

4

5

t²+

24

5

t，
∵y=-

4

5

t²+

24

5

t=-

4

5

（t-3）²+

36

5

，
∴y的最大值為

36

5

．
②∵以PQ為半徑的圓與AB相切，
∴PQ⊥AB，
∵cosB=

3

5

，PB=2t，BQ=6-t，
∴

PB

BQ

=

3

5

，
即

2t

6-t

=

3

5

，
解得：t=

18

13

，
∴t=

18

13

時(shí)，以Q為圓心、以PQ為半徑的圓與AB相切；

（3）①如圖2，∵四邊形PQCM為平行四邊形，
∴PQ∥AC，
∴∠PQB=∠ACB，
∵∠B=∠ACB，
∴∠B=∠PQB，
∴PB=PQ=at，
∵a=

5

2

，
∴PQ=PB=

5

2

t，
∵PM=QC=6+t，PA=10-

5

2

t，
∵PM∥BC，
∴PM：BC=PA：AB，
即

6+t

12

=

10- 5 2 t

10

，
解得：t=

3

2

，
∴PQ=

5

2

t=

5

2

×

3

2

=

15

4

．
②如圖2，∵四邊形PQCM為平行四邊形，
∴PM∥BC，
∴∠MPC=∠QCP，
∵PC是∠ACB的平分線，
∴∠MCP=∠QCP，
∴∠MPC=∠MCP，
∴PM=CM，
∵PB=PQ=CM，PM=QC，
∴PM=PB=at，PM=6+t，
∵PM：BC=PA：AB，
∴

6+t

12

=

10-(6+t)

10

，
解得：t=-

3

11

，
∵t≥0，
∴不存在實(shí)數(shù)a，使得點(diǎn)P在∠ACB的平分線上．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角函數(shù)的應(yīng)用，平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理以及圓的切線的性質(zhì)等；本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用圓的切線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題．