【題目】如圖,拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過點A(﹣1,0)和點C (0,3)與x軸的另一交點為點B,點M是直線BC上一動點,過點M作MP∥y軸,交拋物線于點P.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)在拋物線上是否存在一點Q,使得△QCO是等邊三角形?若存在,求出點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(3)以M為圓心,MP為半徑作⊙M,當(dāng)⊙M與坐標(biāo)軸相切時,求出⊙M的半徑.
【答案】(1)y=﹣x2+x+3;(2)不存在,理由見解析;(3)⊙M的半徑為或
【解析】
(1)已知拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過點A(﹣1,0)和點C(0,3),利用待定系數(shù)法即可求得拋物線解析式;
(2)在拋物線上找到一點Q,使得△QCO是等邊三角形,過點Q作OM⊥OB于點M,過點Q作QN⊥OC于點N,根據(jù)△QCO是等邊三角形,求得Q點坐標(biāo),再驗證Q點是否在拋物線上;
(3)分兩種情況①當(dāng)⊙M與y軸相切,如圖所示,令M點橫坐標(biāo)為t,PM=t,將PM用t表示出來,列出關(guān)于t的一元二次方程,求得t,進而求得半徑;②⊙M與x軸相切,過點M作MN⊥OB于N,如圖所示,令M點橫坐標(biāo)為m,因為PN=2MN,列出關(guān)于m的一元二次方程,即可求出m,進而求得⊙M的半徑.
(1)∵拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過點A(﹣1,0)和點C(0,3)
∴
解得
∴該拋物線的解析式為:y=﹣x2+x+3
故答案為:y=﹣x2+x+3
(2)在拋物線上找到一點Q,使得△QCO是等邊三角形,過點Q作OM⊥OB于點M,過點Q作QN⊥OC于點N
∵△QCO是等邊三角形,OC=3
∴CN=
∴NQ=
即Q(,)
當(dāng)x=時,y=﹣×()2+×+3=≠
∴Q(,)不在拋物線上
y=﹣x2+x+3
故答案為:不存在,理由見解析
(3)①⊙M與y軸相切,如圖所示
∵y=﹣x2+x+3
當(dāng)y=0時,﹣x2+x+3=0
解得x1=-1,x2=4
∴B(4,0)
令直線BC的解析式為y=kx+b
解得
∴直線BC的解析式為
令M點橫坐標(biāo)為t
∵MP∥y軸,⊙M與y軸相切
∴t=﹣t2+t+3-
解得t=
⊙M的半徑為
②⊙M與x軸相切,過點M作MN⊥OB于N,如圖所示
令M點橫坐標(biāo)為m
∵PN=2MN
∴
解得m=1或m=4(舍去)
∴⊙M的半徑為:
故答案為:⊙M的半徑為或
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)和的圖象相交于點,反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點.
(1)求反比例函數(shù)的表達式;
(2)設(shè)一次函數(shù) 的圖象與反比例函數(shù) 的圖象的另一個交點為,連接,求的面積.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以其三邊為邊向外作正方形,過點C作CR⊥FG于點R,再過點C作PQ⊥CR分別交邊DE,BH于點P,Q.若QH=2PE,PQ=15,則CR的長為( )
A.14B.15
C.D.
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【題目】某校7名學(xué)生在某次測量體溫(單位:℃)時得到如下數(shù)據(jù):36.3,36.4,36.5,36.7,36.6,36.5,36.5,對這組數(shù)據(jù)描述正確的是( 。
A.眾數(shù)是36.5B.中位數(shù)是36.7
C.平均數(shù)是36.6D.方差是0.4
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【題目】某校為檢測師生體溫,在校門安裝了某型號測溫門.如圖為該測溫門截面示意圖,已知測溫門AD的頂部A處距地面高為2.2m,為了解自己的有效測溫區(qū)間.身高1.6m的小聰做了如下實驗:當(dāng)他在地面N處時測溫門開始顯示額頭溫度,此時在額頭B處測得A的仰角為18°;在地面M處時,測溫門停止顯示額頭溫度,此時在額頭C處測得A的仰角為60°.求小聰在地面的有效測溫區(qū)間MN的長度.(額頭到地面的距離以身高計,計算精確到0.1m,sin18°≈0.31,cos18°≈0.95,tan18°≈0.32)
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【題目】如圖,在正方形ABCD中,點E在BC邊上,連接AE,∠DAE的平分線AG與CD邊交于點G,與BC的延長線交于點F.設(shè)=λ(λ>0).
(1)若AB=2,λ=1,求線段CF的長.
(2)連接EG,若EG⊥AF,
①求證:點G為CD邊的中點.
②求λ的值.
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【題目】某小微企業(yè)為加快產(chǎn)業(yè)轉(zhuǎn)型升級步伐,引進一批A,B兩種型號的機器.已知一臺A型機器比一臺B型機器每小時多加工2個零件,且一臺A型機器加工80個零件與一臺B型機器加工60個零件所用時間相等.
(1)每臺A,B兩種型號的機器每小時分別加工多少個零件?
(2)如果該企業(yè)計劃安排A,B兩種型號的機器共10臺一起加工一批該零件,為了如期完成任務(wù),要求兩種機器每小時加工的零件不少于72件,同時為了保障機器的正常運轉(zhuǎn),兩種機器每小時加工的零件不能超過76件,那么A,B兩種型號的機器可以各安排多少臺?
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點,△ABO的邊AB垂直與x軸,垂足為點B,反比例函數(shù)(x>0)的圖象經(jīng)過AO的中點C,且與AB相交于點D,OB=4,AD=3.
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)求cos∠OAB的值;
(3)求經(jīng)過C、D兩點的一次函數(shù)解析式.
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【題目】“停課不停學(xué),學(xué)習(xí)不延期!”某市教育局為了解初中學(xué)生疫情期間在家學(xué)習(xí)時對一些學(xué)習(xí)方式的喜好情況,通過微信采用電子問卷的方式隨機調(diào)查了部分學(xué)生(電子調(diào)查表如圖所示),并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計圖,
根據(jù)以上統(tǒng)計圖,解答下列問題:
(1)本次接受調(diào)查的學(xué)生共有 人;
(2)補全條形統(tǒng)計圖;
(3)扇形統(tǒng)計圖中,扇形B的圓心角的度數(shù)是 度;
(4)若該市約有16萬初中生,請估計喜歡自學(xué)(選擇選項C和D)的學(xué)生人數(shù).
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