Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+2（m﹣2）x+3的圖象與x、y軸交于A、B、C三點，其中A（3，0），拋物線的頂點為D．

（1）求m的值及頂點D的坐標；

（2）如圖1，若動點P在第一象限內(nèi)的拋物線上，動點N在對稱軸1上，當PA⊥NA，且PA＝NA時，求此時點P的坐標；

（3）如圖2，若點Q是二次函數(shù)圖象上對稱軸右側一點，設點Q到直線BC的距離為d，到拋物線的對稱軸的距離為d1，當|d﹣d1|＝2時，請求出點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）m＝3，(1，4)；（2）(1，2)；（3）(，2﹣7)

【解析】

（1）將點A的坐標代入函數(shù)表達式，即可求解；

（2）證明△NMA≌△AHP（AAS），則AH＝MN＝3﹣1＝2，即yP＝2＝﹣x2+2x+3，即可求解；

（3）已知點B，點C的坐標可求出直線BC的解析式，過點Q作y軸的平行線交BC于點M，則∠BCO=∠M，設點Q（t，﹣t2+2t+3），則點M（t，3t+3），則d＝DH＝MQ＝[（3t+3）﹣（﹣t2+2t+3）]，d1＝t﹣1，即可求解．

（1）將點A的坐標代入函數(shù)表達式得：0＝﹣32+2（m﹣2）×3+3，

解得：m＝3，

故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+2x+3，

故點D的坐標為：（1，4）；

（2）過點A作y軸的平行線交過點N與x軸的平行線于點M，交過點P與x軸的平行線于點H，

∵∠NAM+∠PAH＝90°，∠NAM+∠ANM＝90°，

∴∠PAH＝∠ANM，

∵∠NMA＝∠AHP＝90°，AP＝NP，

∴△NMA≌△AHP（AAS），

∴AN＝MN＝3﹣1＝2，

即yP＝2＝﹣x2+2x+3，

解得：x＝（舍去負值），

故點P；

（3）設直線BC的表達式為：y＝kx+b，則，解得：，

由點B、C的表達式為：y＝3x+3，

如圖2，過點Q作y軸的平行線交BC于點M，交x軸于點N，

則MN∥y軸，

∴∠BCO＝∠M，而＝，則＝＝sin∠M，

過點Q作QH⊥BM，設點Q（t，﹣t2+2t+3），則點M（t，3t+3），

則d＝DH＝MQ＝ [（3t+3）﹣（﹣t2+2t+3）]，d1＝t﹣1，

∵|d﹣d1|＝2，即 [（3t+3）﹣（﹣t2+2t+3）]﹣（t﹣1）＝±2，

解得：t＝或﹣1（舍去），

故點Q的坐標為：．