【題目】(2017黑龍江省哈爾濱市,第26題,10分)已知:AB是⊙O的弦,點(diǎn)C的中點(diǎn),連接OB、OCOCAB于點(diǎn)D

(1)如圖1,求證:AD=BD

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線交OC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,點(diǎn)P上一點(diǎn),連接AP、BP,求證:∠APBOMB=90°;

(3)如圖3,在(2)的條件下,連接DP、MP,延長(zhǎng)MP交⊙O于點(diǎn)Q,若MQ=6DP,sinABO=,求的值.

【答案】1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析;(3

【解析】

(1)如圖1,連接OA,利用垂徑定理和圓周角定理可得結(jié)論;

(2)如圖2,延長(zhǎng)BOO于點(diǎn)T,連接PT,由圓周角定理可得BPT=90°,易得APT=∠APB﹣∠BPT=∠APB﹣90°,利用切線的性質(zhì)定理和垂徑定理可得ABO=∠OMB,等量代換可得ABO=∠APT,易得結(jié)論;

(3)如圖3,連接MA,利用垂直平分線的性質(zhì)可得MA=MB,易得MAB=∠MBA,作PMG=∠AMB,在射線MG上截取MN=MP,連接PN,BN,易得APM≌△BNM,由全等三角形的性質(zhì)可得AP=BN,∠MAP=∠MBN,延長(zhǎng)PD至點(diǎn)K,使DK=DP,連接AK、BK,易得四邊形APBK是平行四邊形,由平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得PAB=∠ABK,∠APB+∠PBK=180°,由(2)得APB﹣(90°﹣∠MBA)=90°,易得NBP=∠KBP,可得PBN≌△PBK,PN=2PH,利用三角函數(shù)的定義可得sin∠PMH=,sin∠ABO=,設(shè)DP=3a,則PM=5a,可得結(jié)果.

(1)如圖1,連接OA,

C的中點(diǎn),

∴∠AOC=∠BOC,

OA=OB,

ODAB,AD=BD

(2)如圖2,延長(zhǎng)BOO于點(diǎn)T,連接PT

BTO的直徑,

∴∠BPT=90°,

∴∠APT=∠APB﹣∠BPT=∠APB﹣90°,

BMO的切線,

OBBM,

又∵OBA+∠MBA=90°,

∴∠ABO=∠OMB

又∵ABO=∠APT

∴∠APB﹣90°=∠OMB,

∴∠APB﹣∠OMB=90°;

(3)如圖3,連接MA,

MO垂直平分AB,∴MA=MB,

∴∠MAB=∠MBA

PMG=∠AMB,在射線MG上截取MN=MP,連接PN,BN,則AMP=∠BMN,

∴△APM≌△BNM,

AP=BN,∠MAP=∠MBN,延長(zhǎng)PD至點(diǎn)K,使DK=DP,連接AK、BK

四邊形APBK是平行四邊形;

APBK,

∴∠PAB=∠ABK,∠APB+∠PBK=180°,

由(2)得APB﹣(90°﹣∠MBA)=90°,

∴∠APB+∠MBA=180°,∴∠PBK=∠MBA,

∴∠MBP=∠ABK=∠PAB

∴∠MAP=∠PBA=∠MBN,

∴∠NBP=∠KBP,∵PB=PB,

∴△PBN≌△PBK,

PN=PK=2PD,過(guò)點(diǎn)MMHPN于點(diǎn)H,

PN=2PH,∴PH=DP,∠PMH=∠ABO,

∵sin∠PMH=,sin∠ABO=,

=,

=,設(shè)DP=3a,則PM=5a,∴MQ=6DP=18a,

=

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,點(diǎn)DBC上,BD=6DC=2,點(diǎn)PAB上的動(dòng)點(diǎn),則PC+PD的最小值為( 。

A.8B.10C.12D.14

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【題目】為了了解某區(qū)九年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)情況,進(jìn)行了抽樣調(diào)查,其過(guò)程如下,請(qǐng)補(bǔ)全表一、表二中的空白,并回答提出的問(wèn)題.

收集數(shù)據(jù):隨機(jī)抽取甲、乙兩所學(xué)校中各自取20名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行分析

甲:91 89 77 86 71 31 97 93 72 91 81 92 85 85 95 88 88 90 44 91

乙:84 93 66 69 76 87 77 82 85 88 90 88 67 88 91 96 68 97 59 88

整理數(shù)據(jù):表一

分段

學(xué)校

30≤x≤39

40≤x≤49

50≤x≤59

60≤x≤69

70≤x≤79

80≤x≤89

90≤x≤100

1

1

0

0

3

7

8

0

0

1

2

8

5

分析數(shù)據(jù):表二

統(tǒng)計(jì)量

學(xué)校

平均數(shù)

中位數(shù)

眾數(shù)

方差

81.85

88

91

268.43

81.95

86

115.25

得出結(jié)論:

1)若甲學(xué)校有400名九年級(jí)學(xué)生,估計(jì)這次考試成績(jī)80分(包含80分)以上人數(shù)為   

2)可以推斷出   (填:甲或乙)學(xué)校學(xué)生的數(shù)學(xué)水平較高,理由是   (至少?gòu)膬蓚(gè)不同角度說(shuō)明推斷的合理性).

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【題目】無(wú)影塔位于河南汝南城南,俗傳冬至正午無(wú)塔影,故稱無(wú)影塔;相傳為唐代和尚悟顆所建,故又稱悟穎塔,該塔應(yīng)建于北宋中、早期,為豫南地區(qū)現(xiàn)存最古之磚塔.某數(shù)學(xué)小組為了度量塔高進(jìn)行了如下操作:用一架無(wú)人機(jī)在距離塔基8米處垂直起飛30米至點(diǎn)處,測(cè)得塔基處的俯角為,將無(wú)人機(jī)沿水平方向向右飛行米至點(diǎn),在此處測(cè)得塔頂的俯角為,請(qǐng)依據(jù)題中數(shù)據(jù)計(jì)算無(wú)影塔的高度.(結(jié)果精確到,參考數(shù)據(jù):,

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【題目】某商店在年至年期問(wèn)銷售一種禮盒,年該商店川萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)了這種禮盒并且全部售完.年這種禮盒的進(jìn)價(jià)比年下降了/盒,該商店用萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)了與年相同數(shù)量的禮盒也全部售完,禮盒的售價(jià)均為/

1年這種禮盒的進(jìn)價(jià)是多少元/盒?

2)若該商店每年銷售這種禮盒所獲利潤(rùn)的年增長(zhǎng)率相同,問(wèn)年增長(zhǎng)率是多少?

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【題目】如圖,已知平行四邊形ABCD,過(guò)A點(diǎn)作AMBCM,交BDE,過(guò)C點(diǎn)作CNADN,交BDF,連接AF、CE.

(1)求證:四邊形AECF為平行四邊形;

(2)當(dāng)AECF為菱形,M點(diǎn)為BC的中點(diǎn)時(shí),求AB:AE的值.

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【題目】某校為了慶祝建國(guó)七十周年,決定舉辦一臺(tái)文藝晚會(huì),為了了解學(xué)生最喜愛(ài)的節(jié)目形式,隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,規(guī)定每人從歌曲,舞蹈,小品,相聲其它五個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè),并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖表,請(qǐng)根據(jù)圖中信息,解答下列題:

最喜愛(ài)的節(jié)目

人數(shù)

歌曲

15

舞蹈

a

小品

12

相聲

10

其它

b

1)在此次調(diào)查中,該校一共調(diào)查了   名學(xué)生;

2a   ;b   ;

3)在扇形計(jì)圖中,計(jì)算歌曲所在扇形的圓心角的度數(shù);

4)若該校共有1200名學(xué)生,請(qǐng)你估計(jì)最喜愛(ài)相聲的學(xué)生的人數(shù).

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【題目】我市某初中課外興趣活動(dòng)小組對(duì)某水稻品種的稻穗谷粒數(shù)目進(jìn)行調(diào)查,從試驗(yàn)田中隨機(jī)抽取了30株,得到的數(shù)據(jù)如下(單位:顆):

182

195

201

179

208

204

186

192

210

204

175

193

200

203

188

197

212

207

185

206

188

186

198

202

221

199

219

208

187

224

1)對(duì)抽取的30株水稻稻穗谷粒數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,請(qǐng)補(bǔ)全下表中空格,并完善直方圖:

谷粒顆數(shù)

175≤x185

185≤x195

195≤x205

205≤x215

215≤x225

頻數(shù)

8

10

3

對(duì)應(yīng)扇形

圖中區(qū)域

D

E

C

2)如圖所示的扇形統(tǒng)計(jì)圖中,扇形A對(duì)應(yīng)的圓心角為   度,扇形B對(duì)應(yīng)的圓心角為  度;

3)該試驗(yàn)田中大約有3000株水稻,據(jù)此估計(jì),其中稻穗谷粒數(shù)大于或等于205顆的水稻有多少株?

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【題目】某地為了了解2020年在疫情中上網(wǎng)課的感受,組織教師通過(guò)問(wèn)卷和座談等形式,隨機(jī)抽取某城區(qū)一些初中學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,并將調(diào)查的普遍感受分為四大類:A.提高自律能力;B.戰(zhàn)親子關(guān)系;C.提升信息素養(yǎng);D.教師敬業(yè)辛苦,并將調(diào)查結(jié)果繪制成頻數(shù)折線統(tǒng)計(jì)圖1和扇形統(tǒng)計(jì)圖2(不完整).請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問(wèn)題:

1)此次抽樣調(diào)查中,共調(diào)查了__________名初中學(xué)生;

2)求出圖2中扇形C所對(duì)的圓心角的度數(shù),并將圖1補(bǔ)充完整;

3)根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果,請(qǐng)你估計(jì)該城區(qū)1000名初中學(xué)生中有多少人的感受是教師敬業(yè)辛苦?

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