Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°

（1）作邊AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．

（2）連接AE，求證：AE=2DE．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析．

【解析】

試題（1）根據(jù)作線段垂直平分線方法作出圖形即可；（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得∠CAB=60°，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AE=BE，即可得∠BAE=∠B=30°，所以∠CAE=60°﹣30°=30°，在Rt△ACE中,根據(jù)30°的銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得AE=2CE，再由角平分線的性質(zhì)得出CE=DE即可得結(jié)論．

試題解析： 解：（1）如圖所示；

（2）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，

∴∠CAB=60°．

∵邊AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，

∴AE=BE，

∴∠BAE=∠B=30°，

∴∠CAE=60°﹣30°=30°，

∴AE=2CE．

∵∠BAE=∠CAE=30°，

∴AE是∠BAC的平分線，

∴CE=DE，

∴AE=2DE．