Question

【題目】已知，△ABC是等腰直角三角形，BC＝AB，A點(diǎn)在x負(fù)半軸上，直角頂點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)C在x軸上方．

（1）如圖1所示，若A的坐標(biāo)是（﹣3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，1），點(diǎn)C的坐標(biāo)為　 　．

（2）如圖2，若OA平分∠BAC，BC與x軸交于點(diǎn)E，若點(diǎn)C縱坐標(biāo)為m，求AE的長(zhǎng)．

（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)F在射線DM上，且∠ABF＝∠ADF，AH⊥BF于點(diǎn)H，試探究BF、HFDF的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）（﹣1，4）；（2）2m；（3）BF＝2FH+DF，理由見解析

【解析】

（1）作CH⊥y軸于H，如圖1，易得OA＝3，OB＝1根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得BA＝BC，∠ABC＝90°，再利用等角的余角相等得到∠CBH＝∠BAO，則可根據(jù)“AAS”證明△ABO≌△BCH，得到OB＝CH＝1，OA＝BH＝3，所以C（﹣1，4）；

（2）如圖2，過點(diǎn)C作CF⊥AO，交AB的延長(zhǎng)線于H，由“ASA”可證△AFC≌△AFH，可得CF＝FH＝m，由“AAS”可證△ABE≌△CBH，可得AE＝CH＝2m；

（3）如圖3，過點(diǎn)A作AN⊥DF于點(diǎn)N，由“AAS”可證△ABH≌△ADN，可得AN＝AH，BH＝DN，由“HL”可證Rt△ANF≌Rt△AHF，可得NF＝FH，即可得結(jié)論．

解：（1）作CH⊥y軸于H，如圖1，

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，1），

∴OA＝3，OB＝1，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴BA＝BC，∠ABC＝90°，

∴∠ABO+∠CBH＝90°，

∵∠ABO+∠BAO＝90°，

∴∠CBH＝∠BAO，

在△ABO和△BCH中

，

∴△ABO≌△BCH（AAS），

∴OB＝CH＝1，OA＝BH＝3，

∴OH＝OB+BH＝1+3＝4，

∴C（﹣1，4），

故答案為：（﹣1，4）；

（2）如圖2，過點(diǎn)C作CF⊥AO，交AB的延長(zhǎng)線于H，

∴∠CBH＝90°，

∵CF⊥AO，

∴∠BCH+∠H＝90°，

而∠HAF+∠H＝90°，

∴∠BCH＝∠HAF，且∠ABC＝∠CBH＝90°，AB＝CB，

∴△ABE≌△CBH（AAS），

∴AE＝CH，

∵AO平分∠BAC，

∴∠CAF＝∠HAF，且AF＝AF，∠AFH＝∠AFC，

∴△AFC≌△AFH（ASA）

∴CF＝FH＝m，

∴AE＝CH＝2m；

（3）BF＝2FH+DF，

理由如下：如圖3，過點(diǎn)A作AN⊥DF于點(diǎn)N，

∵∠CAE＝∠BAE，∠AOB＝∠AOD，

∴∠ADB＝∠ABD，

∴AD＝AB，且∠ADF＝∠ABF，∠AHB＝∠AND＝90°，

∴△ABH≌△ADN（AAS）

∴AN＝AH，BH＝DN，

∵在Rt△ANF和Rt△AHF中，AN＝AH，AF＝AF，

∴Rt△ANF≌Rt△AHF（HL）

∴NF＝FH，

∵BF＝BH+FH＝DN+FH

∴BF＝DF+NF+FH＝2FH+DF．