Question

已知拋物線y=3ax²+2bx+c
（1）若a=b=1，c=-1，求該拋物線與x軸的交點坐標(biāo)；
（2）若a=

1

3

，c=b-2，證明拋物線與x軸有兩個交點；
（3）若a=

1

3

，c=2+b且拋物線在-2≤x≤2區(qū)間上的最小值是-3，求b的值．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點,二次函數(shù)的最值

專題：

分析：（1）將a、b、c的值代入，可得出拋物線解析式，從而可求解拋物線與x軸的交點坐標(biāo)；
（2）把a=

1

3

，c=b-2代入拋物線解析式，表示出方程的判別式的表達(dá)式，利用配方法及完全平方的非負(fù)性即可判斷出結(jié)論；
（3）a=

1

3

，c-b=2，則拋物線可化為y=x²+2bx+b+2，其對稱軸為x=-b，分x=-b＜-1，x=-b＞2兩種情況討論b的取值，根據(jù)最小值為-3，可得出方程，求出b的值即可．

解答：（1）解：當(dāng)a=b=1，c=-1，時，拋物線為y=3x²+2x-1，
∵方程3x²+2x-1=0的兩個根為x₁=-1，x₂=

1

3

，
∴該拋物線與x軸交點的坐標(biāo)是（-1，0）和（

1

3

，0）；

（2）證明：當(dāng)a=

1

3

，c=b-2時，拋物線y=x²+2bx+b-2，設(shè)y=0，則x²+2bx+b-2=0，
∴△=4b²-4b+8=（2b-1）²+7＞0，
∴拋物線與x軸有兩個交點；

（3）解：a=

1

3

，c-b=2，則拋物線可化為y=x²+2bx+b+2，其對稱軸為x=-b，
當(dāng)x=-b＜-1時，即b＞1，則有拋物線在x=-1時取最小值為-3，
此時-3=（-1）²+2×（-1）b+b+2，
解得：b=6，符合題意；
當(dāng)x=-b＞2時，即b＜-2，則有拋物線在x=2時取最小值為-3，
此時-3=2²+2×2b+b+2，
解得：b=-

9

5

，不合題意，舍去．
當(dāng)-1≤-b≤2時，即-2≤b≤1，則有拋物線在x=-b時取最小值為-3，
此時-3=（-b）²+2×（-b）b+b+2，
化簡得：b²-b-5=0，
解得：b=

1+ 21

2

（不合題意，舍去），b=

1- 21

2

，
綜上可得：b=6或b=

1- 21

2

．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了一元二次方程的解，求根公式及根與系數(shù)的關(guān)系，解答本題的難點在第三問，關(guān)鍵是分類討論，此題難度較大．