【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,有二次函數(shù),頂點為,與軸交于、兩點(在左側(cè)),易證點、關(guān)于直線對稱,且在直線上.過點作直線交直線于點,、分別為直線和直線上的兩個動點,連接、、,則的最小值為________
【答案】8
【解析】
設(shè)=0,則可求出拋物線和x軸的交點坐標(biāo),即A和B的坐標(biāo),再把拋物線解析式配方可求出頂點H的坐標(biāo),進(jìn)而求出過A和H點的直線解析式,
因為過點B作直線BK∥AH交直線l于K點,所以直線BK的斜率和直線AH的相等,又過B,所以可求出直線BK的解析式,再把直線l的解析式和BK的解析式聯(lián)立,即可求出K的坐標(biāo),根據(jù)點H、B關(guān)于直線AK對稱,得出HN+MN的最小值是MB,過點K作直線AH的對稱點Q,連接QK,交直線AH于E,得到BM+MK的最小值是BQ,即BQ的長是HN+NM+MK的最小值,由勾股定理得QB=8,即可得出答案.
設(shè)=0,
解得x1=-3,x2=1,
∵B點在A點右側(cè),
∴A點坐標(biāo)為(-3,0),B點坐標(biāo)為(1,0),
∵=-(x+1)2+2,
∴頂點H的坐標(biāo)是(-1,2),
設(shè)直線AH的解析式為y=kx+b,把A和H點的坐標(biāo)代入求出k=,b=3,
∵過點B作直線BK∥AH,
∴直線BK的解析式為y=mx+n中的m=,
又因為B在直線BK上,代入求出n=-,
∴直線BK的解析式為:y=x-,
聯(lián)立,
解得:,
∴交點K的坐標(biāo)是(3,2),
則BK=4,
∵點H、B關(guān)于直線AK對稱,K(3,2),
∴HN+MN的最小值是MMB,KD=KE=2,
過K作KD⊥x軸于D,作點K關(guān)于直線AH的對稱點Q,連接QK,交直線AH于E,KD=KE=2,
則QM=MK,QE=EK=2,AE⊥QK,
∴根據(jù)兩點之間線段最短得出BM+MK的最小值是BQ,即BQ的長是HN+NM+MK的最小值,
∵BK∥AH,
∴∠BKQ=∠HEQ=90°,
由勾股定理得QB==8,
∴HN+NM+MK的最小值為8.
答:HN+NM+MK和的最小值是8.
故答案為:8.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】南京、上海相距約300 km,快車與慢車的速度分別為100 km/ h和50 km/ h,兩車同時從南京出發(fā),勻速行駛,快車到達(dá)上海后,原路返回南京,慢車到達(dá)上海后停止.設(shè)兩車出發(fā)后的時間為x h,快車、慢車行駛過程中離南京的路程為y1、y2 km.
(1)求y1、y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并在下列平面直角坐標(biāo)系中畫出它們的圖像;
(2)若鎮(zhèn)江、南京相距約80 km,求兩車經(jīng)過鎮(zhèn)江的時間間隔;
(3)直接寫出出發(fā)多長時間,兩車相距100 km.
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【題目】如圖,要建一個面積為130平方米的倉庫,現(xiàn)有能圍成32米長的木板,倉庫的一邊靠墻,并在與墻垂直的一邊開一道1米寬的小門.
(1)如果墻長16米,求倉庫的長和寬;
(2)如果墻長a米,在離開墻9米開外倉庫一側(cè)修條小路,那么墻長至少要多少米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)已知x+y=5,xy=3,求x2+y2的值;
(2)已知x﹣y=5,x2+y2=51,求(x+y)2的值;
(3)已知x2﹣3x﹣1=0,求x2+的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知AM∥BN,AE平分∠BAM,BE平分∠ABN,
(1)求∠AEB的度數(shù).
(2)如圖2,過點E的直線交射線線AM于點C,交射線BN于點D,求證:AC+BD=AB;
(3)如圖3,過點E的直線交射線線AM的反向延長線于點C,交射線BN于點D,AB=5,AC=3,S△ABE﹣S△ACE=2,求△BDE的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90°,D為AB邊中點,∠EDF繞D點旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交AC、CB(或它們的延長線)于E、F
(1)當(dāng)點E在AC邊上時(如圖1),求證CE=BF
(2)在(1)的條件下,求證:
(3)當(dāng)∠EDF繞D點旋轉(zhuǎn)到圖3的位置即點E、F分別在AC、CB邊的延長線上時,上述(2)結(jié)論是否成立?若成立,請給予證明;若不成立,又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請寫出你的猜想,不需證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90°,D為AB邊中點,∠EDF繞D點旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交AC、CB(或它們的延長線)于E、F
(1)當(dāng)點E在AC邊上時(如圖1),求證CE=BF
(2)在(1)的條件下,求證:
(3)當(dāng)∠EDF繞D點旋轉(zhuǎn)到圖3的位置即點E、F分別在AC、CB邊的延長線上時,上述(2)結(jié)論是否成立?若成立,請給予證明;若不成立,又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請寫出你的猜想,不需證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AB的垂直平分線DE交AC于D,交AB于E,下述結(jié)論:①BD平分∠ABC;②D是AC的中點;③AD=BD=BC;④△BDC的周長等于AB+BC.其中正確結(jié)論的個數(shù)有 .(只填序號)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個不透明的袋子中裝有三個完全相同的小球,分別標(biāo)有數(shù)字3、4、5.從袋子中隨機(jī)取出一個小球,用小球上的數(shù)字作為十位的數(shù)字,然后放回;再取出一個小球,用小球上的數(shù)字作為個位上的數(shù)字,這樣組成一個兩位數(shù),試問:按這種方法能組成哪些位數(shù)?十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之和為9的兩位數(shù)的概率是多少?用列表法或畫樹狀圖法加以說明.
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