【題目】已知Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90°,D為AB邊中點(diǎn),∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交AC、CB(或它們的延長線)于E、F
(1)當(dāng)點(diǎn)E在AC邊上時(如圖1),求證CE=BF
(2)在(1)的條件下,求證:
(3)當(dāng)∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置即點(diǎn)E、F分別在AC、CB邊的延長線上時,上述(2)結(jié)論是否成立?若成立,請給予證明;若不成立,又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請寫出你的猜想,不需證明.
【答案】(1)答案見解析;(2)答案見解析;(3)答案見解析.
【解析】
(1)由題意證明四邊形ECFD為矩形,△DFE中DF=FB,從而求解即可;(2)在圖1,圖2中分別進(jìn)行證明,在圖1中證明四邊形CEDF是正方形,邊長是AC的一半,即可得出結(jié)論;在圖2中利用三角形全等的判定證明△CDE≌△BDF,利用中線的性質(zhì)得到,從而得到;(3)不成立;同(2),在圖3中得:△DEC≌△DBF,得出S△DEF-S△CFE=S△ABC..
解:
(1)由圖可知:
∴四邊形ECFD是矩形
∴EC=DF,∠DFB=90°
∵Rt△ABC中,AC=BC,
∴
∴DF=FB
∴DE=DF
∴CE=BF
(2)如圖1,
∵D是AB的中點(diǎn)
∴AD=BD
由(1)可知
∴△AED≌△DFB
∴DE=DF
∴四邊形CEDF是正方形.設(shè)△ABC的邊長AC=BC=a,則正方形CEDF的邊長為a.
∴S△ABC=a2,S正方形DECF=(a)2=a2
即S△DEF+S△CEF=S△ABC;
如圖2所示:連接CD;
∵AC=BC,∠ACB=90°,D為AB中點(diǎn),
∴∠B=45°,∠DCE=∠ACB=45°,CD⊥AB,CD=AB=BD,
∴∠DCE=∠B,∠CDB=90°,
∵∠EDF=90°,
∴∠1=∠2,
在△CDE和△BDF中, ,
∴△CDE≌△BDF(ASA),
∴
又∵D為AB中點(diǎn),
∴
∴S△DEF+S△CEF=S△ADE+S△BDF=S△ABC;
(3)不成立;S△DEF-S△CEF=S△ABC;理由如下:連接CD,
如圖3所示:
同(2)得:△DEC≌△DBF,∠DCE=∠DBF=135°
∴S△DEF=S五邊形DBFEC,
=S△CFE+S△DBC,
=S△CFE+S△ABC,
∴S△DEF-S△CFE=S△ABC.
∴S△DEF、S△CEF、S△ABC的關(guān)系是:S△DEF-S△CEF=S△ABC.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法錯誤的是( ).
A.在一個角的內(nèi)部(包括頂點(diǎn))到角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個角的平分線
B.到點(diǎn)距離等于的點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心,半徑長為的圓
C.到直線距離等于的點(diǎn)的軌跡是兩條平行于且與的距離等于的直線
D.等腰三角形的底邊固定,頂點(diǎn)的軌跡是線段的垂直平分線
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線與交于A,B兩點(diǎn),且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4,過原點(diǎn)O的另一條直線l交雙曲線于P,Q兩點(diǎn)(點(diǎn)P在第一象限),由點(diǎn)A,B,P,Q為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為24,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在梯形中,,,,,,試問在上是否存在點(diǎn),使得以,,為頂點(diǎn)的三角形與是相似三角形?如果不存在,請說明理由;如果存在這樣的點(diǎn)有幾個?它距點(diǎn)多遠(yuǎn)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,有二次函數(shù),頂點(diǎn)為,與軸交于、兩點(diǎn)(在左側(cè)),易證點(diǎn)、關(guān)于直線對稱,且在直線上.過點(diǎn)作直線交直線于點(diǎn),、分別為直線和直線上的兩個動點(diǎn),連接、、,則的最小值為________
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖9,拋物線y=ax2+c(a>0)經(jīng)過梯形ABCD的四個頂點(diǎn),梯形的底AD在x軸上,其中A(-2,0),B(-1, -3).
(1)求拋物線的解析式;(3分)
(2)點(diǎn)M為y軸上任意一點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)M到A、B兩點(diǎn)的距離之和為最小時,求此時點(diǎn)M的坐標(biāo);(2分)
(3)在第(2)問的結(jié)論下,拋物線上的點(diǎn)P使S△PAD=4S△ABM成立,求點(diǎn)P坐標(biāo).(4分)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題中是真命題的是( )
A. 有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形全等
B. 兩條平行直線被第三條直線所截,則一組同旁內(nèi)角的平分線互相垂直
C. 三角形的一個外角等于兩個內(nèi)角的和
D. 等邊三角形既是中心對稱圖形,又是軸對稱圖形
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖Ⅰ,分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正方形,其面積分別用S1、S2、S3表示,則不難證明S1=S2+S3.
(1)如圖Ⅱ,分別以直角三角形ABC三邊為直徑向外作三個半圓,其面積分別用S1、S2、S3表示,設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,請你確定S1、S2、S3之間的關(guān)系并證明.
(2)如圖Ⅲ,分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正三角形,其面積分別用S1、S2、S3表示,請你確定S1、S2、S3之間的關(guān)系.(不必證明)
(3)若分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正多邊形,其面積分別用S1、S2、S3表示,請你猜想S1、S2、S3之間的關(guān)系?(不必證明)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一個布袋中裝有2個紅球和2個籃球,它們除顏色外其他都相同.
(1)攪勻后從中摸出一個球記下顏色,不放回繼續(xù)再摸第二個球,求兩次都摸到紅球的概率;
(2)在這4個球中加入x個用一顏色的紅球或籃球后,進(jìn)行如下試驗(yàn),攪勻后隨機(jī)摸出1個球記下顏色,然后放回,多次重復(fù)這個試驗(yàn),通過大量重復(fù)試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn),抽到紅球的概率穩(wěn)定在0.80,請推算加入的是哪種顏色的球以及x的值大約是多少?
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