Question

如圖（1），拋物線y=-

1

4

x²+x+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0）．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）①若點(diǎn)D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥x軸于E，連接CD，以O(shè)E為直徑作⊙M，如圖（2），試求當(dāng)CD與⊙M相切時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)；
②點(diǎn)F是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)G，使A、C、G、F四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題

分析：（1）把A的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，即可得到關(guān)于c的方程，求的c的值，則拋物線的解析式即可求解；
（2）①連接MC、MD，證明△COM∽△MED，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求解；
②分四邊形是?ACGF和四邊形是?ACFG兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求解．

解答：解：（1）由已知有：-

1

4

（-2）²+（-2）+c=0，
∴c=3，拋物線的解析式是：y=-

1

4

x²+x+3，

（2）①令D（x，y），（x＞0，y＞0），
則E（x，0），M（

x

2

，0），由（1）知C（0，3），
連接MC、MD，
∵DE、CD與⊙O相切，
∴∠OCM=∠MCD，∠CDM=∠EDM，
∴∠CMD=90°，
∴△COM∽△MED，
∴

CO

ME

=

OM

ED

，
∴

3

x 2

=

x

2 y

，
又∵D點(diǎn)在拋物線上，滿足解析式y(tǒng)=-

1

4

x²+x+3，
∴x=

3

2

（1±

5

），
又∵x＞0，
∴x=

3

2

（1+

5

），
∴y=

3

8

（3+

5

），則D點(diǎn)的坐標(biāo)是：（

3

2

（1+

5

，

3

8

（3+

5

））．
②假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)G（a，b）．
若構(gòu)成的四邊形是?ACGF，（下圖1）則G與C關(guān)于直線x=2對(duì)稱，
∴G點(diǎn)的坐標(biāo)是：（4，3）；
若構(gòu)成的四邊形是?ACFG，（下圖2）則由平行四邊形的性質(zhì)有b=-3，
又∵-

1

4

a²+a+3=-3，
∴a=2±2

7

，
此時(shí)G點(diǎn)的坐標(biāo)是：（2±2

7

，-3）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，正確求得當(dāng)CD與⊙M相切時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)鍵．