Question

如圖（1），拋物線y=-

1

4

x²+x+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點A的坐標為（-2，0）．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）①若點D是第一象限內拋物線上的一個動點，過點D作DE⊥x軸于E，連接CD，以OE為直徑作⊙M，如圖（2），試求當CD與⊙M相切時D點的坐標；
②點F是x軸上的動點，在拋物線上是否存在一點G，使A、C、G、F四點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點G的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：代數幾何綜合題

分析：（1）把A的坐標代入拋物線的解析式，即可得到關于c的方程，求的c的值，則拋物線的解析式即可求解；
（2）①連接MC、MD，證明△COM∽△MED，根據相似三角形的對應邊的比相等即可求解；
②分四邊形是?ACGF和四邊形是?ACFG兩種情況進行討論，根據平行四邊形的性質即可求解．

解答：解：（1）由已知有：-

1

4

（-2）²+（-2）+c=0，
∴c=3，拋物線的解析式是：y=-

1

4

x²+x+3，

（2）①令D（x，y），（x＞0，y＞0），
則E（x，0），M（

x

2

，0），由（1）知C（0，3），
連接MC、MD，
∵DE、CD與⊙O相切，
∴∠OCM=∠MCD，∠CDM=∠EDM，
∴∠CMD=90°，
∴△COM∽△MED，
∴

CO

ME

=

OM

ED

，
∴

3

x 2

=

x

2 y

，
又∵D點在拋物線上，滿足解析式y(tǒng)=-

1

4

x²+x+3，
∴x=

3

2

（1±

5

），
又∵x＞0，
∴x=

3

2

（1+

5

），
∴y=

3

8

（3+

5

），則D點的坐標是：（

3

2

（1+

5

，

3

8

（3+

5

））．
②假設存在滿足條件的點G（a，b）．
若構成的四邊形是?ACGF，（下圖1）則G與C關于直線x=2對稱，
∴G點的坐標是：（4，3）；
若構成的四邊形是?ACFG，（下圖2）則由平行四邊形的性質有b=-3，
又∵-

1

4

a²+a+3=-3，
∴a=2±2

7

，
此時G點的坐標是：（2±2

7

，-3）

點評：本題考查了待定系數法求二次函數的解析式以及相似三角形的判定與性質，平行四邊形的性質，正確求得當CD與⊙M相切時D點的坐標是關鍵．