Question

已知：Rt△ABC中，∠C=90°，兩條直角邊AC=2，BC=4．如圖（1），BC在x軸上，點A在反比例函數y=

6

x

第一象限的分支上，AB與y軸交于點D，記四邊形ACOD面積為S₁；如圖（2）點B在反比例函數y=

6

x

第一象限的分支上，AC在x軸上，AB與y軸交于點E，記四邊形BCOE面積為S₂．試比較S₁與S₂的大小，并說明理由．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質,反比例函數系數k的幾何意義

專題：

分析：解法一：根據相似三角形△BOD∽△BCA的性質、反比例函數系數k的幾何意義推知S₁=S₂．
解法二：根據反比例函數的性質，可以得到點A和點B的坐標，分別計算出S₁，S₂的值，然后比較它們的大�。�

解答：解：解法一：∵AC⊥x軸，AC=2，A在y=

6

x

上，
∴OC=3，
∴OB=1，
∴OD∥AC，
∴△BOD∽△BCA，
∴

S△BOD

S△BCA

=(

BO

BC

)2=(

1

4

)2=

1

16

．
∵S_△ABC=

1

2

×4×2=4
∴S_△BOD=

1

16

×4=

1

4

，
∴S₁=4-

1

4

=

15

4

．
同理：BC=4，OC=

6

4

=

3

2

，
∴OA=2-

3

2

=

1

2

，
∴

S△AOE

S△ABC

=(

1 2

2

)2=

1

16

∴S_△AOE=

1

16

×4=

1

4

，
∴S₂=4-

1

4

=

15

4

∴S₁=S₂；

解法二：∵AC=2，點A在y=

6

x

上，
∴OC=3，A（3，2），
∴OB=4-3=1，
∴B（-1，0）．
設直線AB：y=kx+b（k≠0），則

3k+b=2 k+b=0

，
解得∴

k= 1 2 b= 1 2

，即OD=

1

2

，
∴S_△BOD=

1

2

×1×

1

2

=

1

4

，
∴S₁=S_△ABC-S_△BOD=4-

1

4

=

15

4

．
同理可得：如圖（2）中，B（

3

2

，4），A（-

1

2

，0），設直線AB：y=kx+b（k≠0），則

3 2 k+b=4 1 2 k+b=0

，
解得

k=2 b=1

，即OE=1，
∴S_△AOE=

1

2

×

1

2

×1=

1

4

，
∴S₂=S_△ABC-S_△AOE=4-

1

4

=

15

4

．
∴S₁=S₂．

點評：本題考查的是反比例函數的綜合題，其中涉及到了相似三角形的判定與性質，反比例函數系數k的幾何意義．解題時，根據反比例函數的性質，結合圖形計算面積．