Question

20．已知如圖，△ABC是等邊三角形，過AB邊上的點D作DG∥BC，交AC于點G，在GD的延長線上取點E，使DE=CG，連接AE、CD．
（1）求證：△AGE≌△DAC；
（2）過E做EF∥DC．交BC于F．連接AF．判斷△AEF是怎樣的三角形．并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知等邊三角形的性質(zhì)可推出△ADG是等邊三角形，從而再利用SAS判定△AGE≌△DAC；
（2）連接AF，由已知可得四邊形EFCD是平行四邊形，從而得到EF=CD，∠DEF=∠DCF，由（1）知△AGE≌△DAC得到AE=CD，∠AED=∠ACD，從而可得到EF=AE，∠AEF=60°，所以△AEF為等邊三角形．

解答 證明：（1）在△AGE與△DAC中，
∵DG‖BC，△ABC是等邊三角形
∴AD=AG=DG
又∵DE=CG
∴EG=DE+DG=CG+AG=AC，
∠AGE=∠DAC=60°
在△AGE和△DAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AD}\\{∠AGE=∠DAC}\\{GE=AC}\end{array}\right.$，
∴△AGE≌△DAC    
（2）判斷：△AEF是等邊三角形  
證明：∵EF∥DC
∴∠GEF=∠GDC
又∵∠AEG=∠ACD
∴∠AEG+∠GEF=∠GCD+∠GDC=∠AGD=60°
∴∠AEF=60°
又∵DG∥BC，EF∥DC
∴四邊形CDEF是平行四邊形
∴DC=EF
又∵△AGE≌△DAC
∴AE=DC
∴AE=EF
∴△AEF是等邊三角形．

點評 此題主要考查學(xué)生對全等三角形的判定，等邊三角形的性質(zhì)及判定的理解及運用．