Question

3．在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，A、B、C三點的坐標(biāo)分別為A（2，0），B（4，0），C（0，5），點D在第一象限內(nèi)，且∠ADB=45°．線段CD的長的最小值為5-$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)圓心為P，連結(jié)PA、PB、PC，PE⊥AB于E，求出半徑和PC的長度，判出點D只有在CP上時CD最短，CD=CP-DP求解即可．

解答 解：如圖，設(shè)圓心為P，連結(jié)PA、PB、PC，PE⊥AB于E，
∵A（2，0）、B（4，0），
∴E（3，0）
又∠ADB=45°，
∴∠APB=90°（圓心角所對的角等于圓周角的二倍），
∴PE=1，PA=$\sqrt{2}$PE=$\sqrt{2}$，
∴P（3，1），
∵C（0，5），
∴PC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
又∵PD=PA=$\sqrt{2}$，
∴只有點D在線段PC上時，CD最短（點D在別的位置時構(gòu)成△CDP）
∴CD最小值為：5-$\sqrt{2}$．
故答案為：5-$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，圓周角定理及勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是判出點D只有在CP上時CD最短．