【題目】兩塊等腰直角三角板△ABC和△DEC如圖擺放,其中∠ACB=∠DCE=90°,F(xiàn)是DE的中點(diǎn),H是AE的中點(diǎn),G是BD的中點(diǎn).
(1)如圖1,若點(diǎn)D、E分別在AC、BC的延長(zhǎng)線上,通過(guò)觀察和測(cè)量,猜想FH和FG的數(shù)量關(guān)系為______和位置關(guān)系為______;
(2)如圖2,若將三角板△DEC繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至ACE在一條直線上時(shí),其余條件均不變,則(1)中的猜想是否還成立,若成立,請(qǐng)證明,不成立請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)如圖3,將圖1中的△DEC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角,得到圖3,(1)中的猜想還成立嗎?直接寫(xiě)出結(jié)論,不用證明.
【答案】(1)相等,垂直.(2)成立,證明見(jiàn)解析;(3)成立,結(jié)論是FH=FG,F(xiàn)H⊥FG.
【解析】
試題(1)證AD=BE,根據(jù)三角形的中位線推出FH=AD,F(xiàn)H∥AD,F(xiàn)G=BE,F(xiàn)G∥BE,即可推出答案;
(2)證△ACD≌△BCE,推出AD=BE,根據(jù)三角形的中位線定理即可推出答案;
(3)連接BE、AD,根據(jù)全等推出AD=BE,根據(jù)三角形的中位線定理即可推出答案.
試題解析:
(1)解:∵CE=CD,AC=BC,∠ECA=∠DCB=90°,
∴BE=AD,
∵F是DE的中點(diǎn),H是AE的中點(diǎn),G是BD的中點(diǎn),
∴FH=AD,F(xiàn)H∥AD,F(xiàn)G=BE,F(xiàn)G∥BE,
∴FH=FG,
∵AD⊥BE,
∴FH⊥FG,
故答案為:相等,垂直.
(2)答:成立,
證明:∵CE=CD,∠ECD=∠ACD=90°,AC=BC,
∴△ACD≌△BCE
∴AD=BE,
由(1)知:FH=AD,F(xiàn)H∥AD,F(xiàn)G=BE,F(xiàn)G∥BE,
∴FH=FG,F(xiàn)H⊥FG,
∴(1)中的猜想還成立.
(3)答:成立,結(jié)論是FH=FG,F(xiàn)H⊥FG.
連接AD,BE,兩線交于Z,AD交BC于X,
同(1)可證
∴FH=AD,F(xiàn)H∥AD,F(xiàn)G=BE,F(xiàn)G∥BE,
∵三角形ECD、ACB是等腰直角三角形,
∴CE=CD,AC=BC,∠ECD=∠ACB=90°,
∴∠ACD=∠BCE,
在△ACD和△BCE中
,
∴△ACD≌△BCE,
∴AD=BE,∠EBC=∠DAC,
∵∠DAC+∠CXA=90°,∠CXA=∠DXB,
∴∠DXB+∠EBC=90°,
∴∠EZA=180°﹣90°=90°,
即AD⊥BE,
∵FH∥AD,F(xiàn)G∥BE,
∴FH⊥FG,
即FH=FG,F(xiàn)H⊥FG,
結(jié)論是FH=FG,F(xiàn)H⊥FG.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,DE∥AC,CE∥BD.
(1)求證:四邊形OCED為菱形;
(2)連接AE、BE,AE與BE相等嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,二次函數(shù)y=﹣ x2+ x+2的圖象與x軸交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C.過(guò)動(dòng)點(diǎn)H(0,m)作平行于x軸的直線l,直線l與二次函數(shù)y=﹣ x2+ x+2的圖象相交于點(diǎn)D,E.
(1)寫(xiě)出點(diǎn)A,點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)若m>0,以DE為直徑作⊙Q,當(dāng)⊙Q與x軸相切時(shí),求m的值;
(3)直線l上是否存在一點(diǎn)F,使得△ACF是等腰直角三角形?若存在,求m的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,在△ABC中,∠1=∠2,G是AD的中點(diǎn),延長(zhǎng)BG交AC于點(diǎn)E,F(xiàn)為AB上一點(diǎn),CF⊥AD交AD于點(diǎn)H.下列說(shuō)法:①AD是△ABE的角平分線;②BE是△ABD的邊AD上的中線;③CH為△ACD的邊AD上的高;④AH是△ACF的角平分線和高線.其中正確的有_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知正反比例函數(shù)的圖像交于、兩點(diǎn),過(guò)第二象限的點(diǎn)作軸,點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,且,點(diǎn)在第四象限
(1)求這兩個(gè)函數(shù)解析式;
(2)求這兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo);
(3)若點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,聯(lián)結(jié)、,寫(xiě)出當(dāng)時(shí)的點(diǎn)坐標(biāo)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為的正方形組成的網(wǎng)格中,的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上,點(diǎn)、的坐標(biāo)分別是,,關(guān)于軸對(duì)稱的圖形為.
畫(huà)出并寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)為________;
寫(xiě)出的面積為________;
點(diǎn)在軸上,使的值最小,寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,已知,分別為兩坐標(biāo)軸上的點(diǎn),且,滿足,且.
(1)求、、三點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)若,過(guò)點(diǎn)的直線分別交、于、兩點(diǎn),且,設(shè)、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、,求的值;
(3)如圖2,若,點(diǎn)是軸上點(diǎn)右側(cè)一動(dòng)點(diǎn),于點(diǎn),在上取點(diǎn),使,連接,當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí),的度數(shù)是否改變?若不變,請(qǐng)求其值;若改變,請(qǐng)說(shuō)明理由.
圖1 圖2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0.
(1)求證:無(wú)論m取何值,原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根:
(2)若x1 , x2是原方程的兩根,且|x1﹣x2|=2 ,求m的值,并求出此時(shí)方程的兩根.
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