Question

【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0．
（1）求證：無論m取何值，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：
（2）若x1 ， x2是原方程的兩根，且|x1﹣x2|=2 ，求m的值，并求出此時(shí)方程的兩根．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△=（m+3）2﹣4（m+1）

=（m+1）2+4，

∵無論m取何值，（m+1）2+4恒大于0，

∴原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

（2）∵x1，x2是原方程的兩根，

∴x1+x2=﹣（m+3），x1x2=m+1，

∵|x1﹣x2|=2 ∴（x1﹣x2）2=（2 ）2，

∴（x1+x2）2﹣4x1x2=8，

∴[﹣（m+3）]2﹣4（m+1）=8∴m2+2m﹣3=0，

解得：m1=﹣3，m2=1．

當(dāng)m=﹣3時(shí)，原方程化為：x2﹣2=0，

解得：x1= ，x2=﹣ ，

當(dāng)m=1時(shí)，原方程化為：x2+4x+2=0，

解得：x1=﹣2+ ，x2=﹣2﹣

【解析】（1）根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0的根的判別式△=b2﹣4ac的符號(hào)來判定該方程的根的情況；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得x1+x2=﹣（m+3），x1x2=m+1；然后由已知條件“|x1﹣x2|=2 ”可以求得（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=8，從而列出關(guān)于m的方程，通過解該方程即可求得m的值；最后將m值代入原方程并解方程．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解求根公式的相關(guān)知識(shí)，掌握根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當(dāng)△>0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根2、當(dāng)△=0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相同的實(shí)數(shù)根3、當(dāng)△<0時(shí)，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，以及對(duì)根與系數(shù)的關(guān)系的理解，了解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數(shù)a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商．