Question

已知拋物線y=x²-1和x軸交于A，B（點A在點B右邊）兩點，和y軸交于點C，P為拋物線上的動點．
（1）求出A，B，C三點的坐標；
（2）求動點P到原點O的距離的最小值，并求此時點P的坐標；
（3）當點P在x軸下方的拋物線上運動時，過P的直線交x軸于E，若△POE和△POC全等，求此時點P的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）令y=0，解方程求出x的值，即可得到點A、B的坐標，令x=0求出y的值，即可得到點C的坐標；
（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標特征設點P的坐標為（x，x²-1），利用勾股定理列式求出OP²，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答；
（3）根據(jù)二次函數(shù)的增減性，點P在第三四象限時，OP≠1，從而判斷出OC與OE是對應邊，然后確定出點E與點A或點B重合，再根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠POC=∠POE，然后根據(jù)第三、四象限角平分線上的點到角的兩邊距離相等的坐標特征利用拋物線解析式求解即可．

解答：解：（1）令y=0，則x²-1=0，
解得x=±1，
∵點A在點B右邊，
∴A（-1，0），B（1，0），
令x=0，則y=-1，
∴點C的坐標為（0，-1）；

（2）∵P為拋物線y=x²-1上的動點，
∴設點P的坐標為（x，x²-1），
則OP²=x²+（x²-1）²=x⁴-x²+1=（x²-

1

2

）²+

3

4

，
∴當x²=

1

2

，即x=±

2

2

時，OP²最小，OP的值也最小，
此時，點P的坐標為（

2

2

，-

1

2

）或（-

2

2

，-

1

2

）；

（3）∵OP²=（x²-

1

2

）²+

3

4

，
∴點P在第三四象限時，OP≠1，
∵△POE和△POC全等，
∴OC與OE是對應邊，
∵OA=OB=1，
∴點E與點A或點B重合，
∴∠POC=∠POE，
∴點P在第三、四象限角平分線上，
①點P在第三象限角平分線上時，y=x，
∴x²-1=x，
解得x₁=

1- 5

2

，x₂=

1+ 5

2

（舍去），
此時，點P（

1- 5

2

，

1- 5

2

）
②點P在第四象限角平分線上時，y=-x，
∴x²-1=-x，
解得x₁=

-1+ 5

2

，x₂=

-1- 5

2

（舍去），
此時，點P（

-1+ 5

2

，

1- 5

2

），
綜上所述，P（

1- 5

2

，

1- 5

2

）或（

-1+ 5

2

，

1- 5

2

）時△POE和△POC全等．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了拋物線與坐標軸的交點的求解，二次函數(shù)的最值問題，全等三角形的性質(zhì)，難點在于判斷出（3）點P在第三、四象限角平分線上．