Question

證明：對于平行四邊形，若任意一點到兩對頂點的距離的平方和相等，則此平行四邊形為矩形．

Answer 1

考點：矩形的判定

專題：證明題

分析：根據(jù)題意寫出已知和求證，然后利用平行四邊形的性質(zhì)及矩形的判定定理進(jìn)行判定即可．

解答：已知：如圖所示，P是平行四邊形ABCD內(nèi)任意一點，且PA²+PC²=PB²+PD²；
求證：四邊形ABCD是矩形；
證明：過P作EF⊥AD，分別交AD、BC于E、F，
∵平行四邊形ABCD
∴AD∥BC；AD=BC
∴EF⊥BC
∴AE+DE=BF+CF…①
∵PA²=AE²+PE²；
PC²=PF²+CF²；
PB²=PF²+BF²；
PD²=PE²+DE²；
∴（AE²+PE²）+（PF²+CF²）=（PF²+BF²）+（PE²+DE²），
∴AE²+CF²=BF²+DE²；
∴AE²-DE²=BF²-CF²；
∴（AE-DE）（AE+DE）=（BF-CF）（BF+CF）
∴（AE-DE）•AD=（BF-CF）•BC
∴AE-DE=BF-CF…②
①+②得：2AE=2BF，
∴AE=BF，
又∵AD∥BC，EF⊥AD，EF⊥BC，
∴四邊形ABFE是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，
∴平行四邊形ABCD是矩形．

點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)及矩形的判定，解題的關(guān)鍵是了解矩形的有關(guān)判定定理，難度不大．