Question

10．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)O在AB上，以O(shè)為圓心，OA長為半徑的圓與AC，AB分別交于點(diǎn)D，E，且∠CBD=∠A．
①判斷直線BD與圓O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
②若AD：AO=6：5，BC=2，求BD的長．

Answer 1

分析 （1）由OA=OD得∠A=∠ODA，再由∠CBD+∠CDB=90°，∠A=∠CBD可得∠ODA+∠CDB=90°，即∠ODB=90°，于是根據(jù)切線的判定定理可判斷BD為⊙O的切線；
（2）連結(jié)DE，根據(jù)圓周角定理，由AE為直徑得到∠ADE=90°，設(shè)AD=6t，AO=5t，AE=10t，則利用勾股定理計(jì)算出DE=8t，于是利用角的余弦可計(jì)算出BD．

解答 解：（1）BD與⊙O的位置關(guān)系為相切．理由如下：
連接OD，如圖1所示：
∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA，
∵∠C=90°
∴∠CBD+∠CDB=90°，
而∠A=∠CBD，
∴∠ODA+∠CDB=90°，
∴∠ODB=90°，
∴OD⊥BD，
∴BD為⊙O的切線；
（2）連結(jié)DE，如圖2所示：
∵AE為直徑，
∴∠ADE=90°，
∵AD：AO=6：5，
∴設(shè)AD=6t，AO=5t，則AE=10t，
∴DE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{D}^{2}}$=8t，
∴cosA=$\frac{AD}{AE}$=$\frac{6t}{10t}$=$\frac{3}{5}$，
∵∠DAE=∠CAB，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DE}{BC}$，
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{DE}{AD}$=$\frac{8t}{6t}$=$\frac{4}{3}$，
∴AC=$\frac{3}{4}$BC=$\frac{3}{4}$×2=$\frac{3}{2}$，
∵∠A=∠CBD，
∴cos∠CBD=cosA=$\frac{3}{5}$=$\frac{BC}{BD}$，
∴BD=$\frac{5}{3}$BC=$\frac{10}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．也考查了解直角三角形和相似三角形的判定與性質(zhì)．