Question

20．如圖1，△ACB為等腰三角形，∠ABC=90°，點(diǎn)P在線段BC上（不與B，C重合），以AP為腰長(zhǎng)作等腰直角△PAQ，QE⊥AB于E．

（1）求證：△PAB≌△AQE；
（2）連接CQ交AB于M，若PC=2PB，求$\frac{PC}{MB}$的值；
（3）如圖2，過Q作QF⊥AQ交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過P點(diǎn)作DP⊥AP交AC于D，連接DF，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與B，C重合），式子$\frac{QF-DP}{DF}$的值會(huì)變化嗎？若不變，求出該值；若變化，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題目中的信息可以得到AQ=AP，∠QEA與∠ABP之間的關(guān)系，∠QAE與∠APB之間的關(guān)系，從而可以解答本題；
（2）由第一問中的兩個(gè)三角形全等，可以得到各邊之間的關(guān)系，然后根據(jù)題目中的信息找到PC與MB的關(guān)系，從而可以解答本題；
（3）作合適的輔助線，構(gòu)造直角三角形，通過三角形的全等可以找到所求問題需要的邊之間的關(guān)系，從而可以解答本題．

解答 （1）證明：∵△ACB為等腰三角形，∠ABC=90°，點(diǎn)P在線段BC上（不與B，C重合），以AP為腰長(zhǎng)作等腰直角△PAQ，QE⊥AB于E．
∴AP=AQ，∠ABP=∠QEA=90°，∠QAE+∠BAP=∠BAP+∠APB=90°，
∴∠QAE=∠APB，
在△PAB和△AQE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABQ=∠QEA}\\{∠QAE=∠APB}\\{AQ=PA}\end{array}\right.$，
∴△PAB≌△AQE（AAS）；
（2）解：∵△PAB≌△AQE，
∴AE=PB，
∵AB=CB，
∴QE=CB．
在△QEM和△CBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠QME=∠CMB}\\{∠QEM=∠CBM}\\{QE=CB}\end{array}\right.$，
∴△QEM≌△CBM（AAS），
∴ME=MB，
∵AB=CB，AE=PB，PC=2PB，
∴BE=PC，
∵PC=2PB，
∴PC=2MB，
∴$\frac{PC}{MB}=2$；
（3）式子$\frac{QF-DP}{DF}$的值不會(huì)變化．
如下圖2所示：作HA⊥AC交QF于點(diǎn)H，

∵QA⊥AP，HA⊥AC，AP⊥PD，
∴∠QAH+∠HAP=∠HAP+∠PAD=90°，∠AQH=∠APD=90°，
∴∠QAH=∠PAD，
∵△PAQ為等腰直角三角形，
∴AQ=AP，
在△AQH和△APD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AQH=∠APD}\\{AQ=AP}\\{∠QAH=∠PAD}\end{array}\right.$，
∴△AQH≌△APD（ASA），
∴AH=AD，QH=PD，
∵HA⊥AC，∠BAC=45°，
∴∠HAF=∠DAF，
在△AHF和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AH=AD}\\{∠HAF=∠DAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AHF≌△ADF（SAS），
∴HF=DF，
∴$\frac{QF-DP}{DF}$=$\frac{QF-QH}{HF}$=$\frac{HF}{HF}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想，找出所求問題需要的關(guān)系，通過三角形的全等可以得到相關(guān)的角和邊之間的關(guān)系．