Question

11．已知矩形ABCD，AB=8，BC=4，將它繞著點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)α度（0＜α＜8）得到矩形A₁B₁C₁D₁．這兩邊所在的直線分別與CD邊所在的直線相交于點(diǎn)P，Q，當(dāng)DP：DQ=1：2時(shí)，DP的長(zhǎng)為5．

Answer 1

分析 作PH⊥C₁D₁，如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BC=BC₁=4，由四邊形BPHC₁為矩形得到PH=BC₁，則BC=PH，于是可根據(jù)“AAS”證明△BPC≌△PQH，得到PQ=PB，由于DP：DQ=1：2，所以DP=BP=PQ，設(shè)DP=x，則BP=x，PC=DC-DP=8-x，然后在Rt△BCP中根據(jù)勾股定理得到（8-x）²+4²=x²，再解方程求出x即可．

解答 解：作PH⊥C₁D₁，如圖，
∵矩形ABCD繞著點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)得到矩形A₁B₁C₁D₁，
∴BC=BC₁=4，
易得四邊形BPHC₁為矩形，
∴PH=BC₁，
∴BC=PH，
∵C₁D₁∥A₁B，
∴∠BPC=∠PQH，
在△BPC和△PQH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCP=∠PHQ}\\{∠BPC=∠PQH}\\{BC=PH}\end{array}\right.$，
∴△BPC≌△PQH，
∴PQ=PB，
∵DP：DQ=1：2，
∴DP=BP=PQ，
設(shè)DP=x，則BP=x，PC=DC-DP=8-x，
在Rt△BCP中，（8-x）²+4²=x²，解得x=5，
即DP的長(zhǎng)為5．
故答案為5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．解決本題的關(guān)鍵是證明PD=PB．