Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)y＝﹣x+3與x軸交于點(diǎn)C與直線(xiàn)AD交于點(diǎn)A(1，2)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，1)

(1)求直線(xiàn)AD的解析式；

(2)直線(xiàn)AD與x軸交于點(diǎn)B，請(qǐng)判斷△ABC的形狀；

(3)在直線(xiàn)AD上是否存在一點(diǎn)E，使得4S△BOD＝S△ACE，若存在求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)y＝x+1；(2)△ABC是等腰直角三角形；(3)存在，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2，3)或(0，1)時(shí)，4S△BOD＝S△ACE．

【解析】

(1)利用待定系數(shù)法，即可得到直線(xiàn)AD的解析式；

(2)依據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求得AB＝2，AC＝2，BC＝4，即可得到AB2+AC2＝16＝BC2，進(jìn)而得出△ABC是等腰直角三角形；

(3)依據(jù)4S△BOD＝S△ACE，即可得到AE＝，分兩種情況進(jìn)行討論：①點(diǎn)E在直線(xiàn)AC的右側(cè)，②點(diǎn)E在直線(xiàn)AC的左側(cè)，分別依據(jù)AD＝AE＝，即可得到點(diǎn)E的坐標(biāo)．

解：(1)直線(xiàn)AD的解析式為y＝kx+b，

∵直線(xiàn)AD經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，2)，點(diǎn)D(0，1)，

∴，

解得，

∴直線(xiàn)AD的解析式為y＝x+1；

(2)∵y＝x+1中，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝﹣1；y＝﹣x+3中，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝3，

∴直線(xiàn)AD與x軸交于B(﹣1，0)，直線(xiàn)AC與x軸交于C(3，0)，

∵點(diǎn)A(1，2)，

∴AB＝2，AC＝2，BC＝4，

∵AB2+AC2＝16＝BC2，

∴∠BAC＝90°，

∴△ABC是等腰直角三角形；

(3)存在，

AC＝2，S△BOD＝×1×1＝，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠CAE＝90°，

∵S△ACE＝AE×AC，4S△BOD＝S△ACE，

∴4×＝×AE×2，

解得AE＝，

①如圖，當(dāng)點(diǎn)E在直線(xiàn)AC的右側(cè)時(shí)，過(guò)E作EF⊥y軸于F，

∵AD＝AE＝，∠EDF＝45°，

∴EF＝DF＝2，OF＝2+1＝3，

∴E(2，3)；

②當(dāng)點(diǎn)E在直線(xiàn)AC的左側(cè)時(shí)，

∵AD＝AE＝，

∴點(diǎn)E與點(diǎn)D重合，即E(0，1)，

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2，3)或(0，1)時(shí)，4S△BOD＝S△ACE．