Question

已知如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，M是AC邊的中點(diǎn)，AD⊥BM交BC于D，交BM于E，CF⊥AC，證明：
（1）△ABM≌△CAF；
（2）∠AMB=∠DMC．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：證明題

分析：（1）由三角形ABC為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到AB=AC，且∠ABC=∠ACB=45°，利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等，再由一對(duì)直角相等，且AB=AC，利用AAS得到三角形ABM與三角形CAF全等；
（2）由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到AM=CF，由M為AC中點(diǎn)，得到AM=CM，等量代換得到CM=CF，由公共邊CD=CD，且夾角相等得到三角形CMD與三角形CFD全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得到∠DMC=∠F，等量代換即可得證．

解答：證明：（1）∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠F+∠CAF=90°，∠CAF+∠AMB=90°，
∴∠F=∠AMB，
在△ABM和△CAF中，

∠BAM=∠ACF ∠AMB=∠F AB=CA

，
∴△ABM≌△CAF（AAS）；
（2）∵∠MCD=45°，
∴∠FCD=90°-∠MCD=45°，
∵M(jìn)為AC的中點(diǎn)，
∴AM=CM，
∵△ABM≌△CAF，
∴AM=CF，
∴CM=CF，
在△CMD和△CFD中，

CM=CF ∠MCD=∠FCD CD=CD

，
∴△CMD≌△CFD（SAS），
∴∠DMC=∠F，
則∠AMB=∠DMC．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．