Question

如圖，在⊙O中，AB為⊙O的直徑，C、D為⊙O上兩點(diǎn)，弦AC=2

3

，△ACD為等邊三角形，CD、AB相交于點(diǎn)E．
（1）求∠BAC的度數(shù)；
（2）求⊙O的半徑；
（3）求CE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,等邊三角形的性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AC=AD，∠CAD=∠ADC=∠ACD=60°，故可得出

AC

=

AD

=

CD

，再由等邊三角形的性質(zhì)得出AB是CD的垂直平分線，故可得出結(jié)論；
（2）過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AC于點(diǎn)F，根據(jù)垂徑定理求出AF的長(zhǎng)，再由OA=

AF

cos30°

即可得出結(jié)論；
（3）直接根據(jù)垂徑定理求出CE的長(zhǎng)即可．

解答：解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=AD，∠CAD=∠ADC=∠ACD=60°，
∴

AC

=

AD

=

CD

，
∴AB是CD的垂直平分線，
∴∠BAC=

1

2

∠CAD=30°；

（2）過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AC于點(diǎn)F，
∵AC=2

3

，
∴AF=

3

，
∴OA=

AF

cos30°

=

3

3 2

=

2

3

；

（3）∵由（1）知AB是CD的垂直平分線，
∴CE=

1

2

CD=

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．