Question

如圖，△ABC中，AB=AC=5，sinB=

4

5

．如果動(dòng)點(diǎn)D以每秒1個(gè)單位長度的速度由點(diǎn)B出發(fā)，沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)E以每秒2個(gè)單位長度的速度由點(diǎn)C出發(fā)沿CB方向向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t＞0），連接DE．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，DE與AC平行？
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ADEC的面積有最小值？最小面積為多少？

Answer 1

考點(diǎn)：平行線分線段成比例,二次函數(shù)的最值,勾股定理

專題：動(dòng)點(diǎn)型

分析：（1）過A點(diǎn)做AF⊥BC，過D點(diǎn)做DG⊥BC，根據(jù)sinB=

4

5

，AB=AC=5，得出△ABC為等腰三角形，AF=4，根據(jù)勾股定理即可求得BF=3，進(jìn)而得出BC=6，設(shè)經(jīng)歷時(shí)間t后，DE與AC平行，則：BE=6-2t，BD=t，根據(jù)平行線分線段成比例即可得出

t

5

=

6-2t

6

，求得t的值；
（2）四邊形ADEC的面積最小，意味著△EBC的面積最大，在經(jīng)歷時(shí)間T后，△EBD的面積為S=

1

2

BE•DG，由于BD=T，BE=6-2T，根據(jù)sinB=

4

5

．得出DG=

4

5

T，根據(jù)三角形的面積公式得出S=

12

5

T-

4

5

T²=-

4

5

（T-

3

2

）+

9

5

，所以當(dāng)T=1.5s時(shí)，S有最大值，為1.8，即可求得四邊形ADEC有最小面積．

解答：解：（1）過A點(diǎn)做AF⊥BC，過D點(diǎn)做DG⊥BC；
由于sinB=

4

5

，AB=AC=5，
∴△ABC為等腰三角形，AF=4；
∴BF=

AB2-AF2

=

52-42

=3，
∴BC=2BF=2×3=6；
設(shè)經(jīng)歷時(shí)間t后，DE與AC平行，則：BE=6-2t，BD=t，
∵DE∥AC，
∴BD：BA=BE：BC，
即

t

5

=

6-2t

6

∴t=1.875s
（2）四邊形ADEC的面積最小，意味著△EBC的面積最大，在經(jīng)歷時(shí)間T后，△EBD的面積為S=

1

2

BE•DG，
∵BD=T，BE=6-2T
∴DG=

4

5

T，S=

12

5

T-

4

5

T²=-

4

5

（T-

3

2

）+

9

5

，
∴當(dāng)T=1.5s時(shí)，S有最大值，為1.8，
∵三角形ABC的面積為=

1

2

BC•AF=

1

2

×6×4=12，
∴此時(shí)四邊形ADEC有最小面積，最小面積為10.2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行線分線段成比例，二次函數(shù)的最值，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．