Question

19．如圖，在等邊三角形ABC中，M是BC邊（不含端點(diǎn)B、C）上任意一點(diǎn)，P是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，N是∠ACP的平分線上一點(diǎn)．若∠AMN=60°，求證：AM=MN．
請(qǐng)你按題中給出的輔助線的做法，完成證明過(guò)程．
證明：在邊AB上截取AD=MD，連接MD．

Answer 1

分析 在AB上截取DA=MC，連接DM，得△ADM，求出∠2=∠1，∠5=∠MCN，根據(jù)ASA推出△ADM≌△MCN即可．

解答 證明：在AB上截取DA=MC，連接DM，得△ADM，
∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN，∠2=180°-∠AMB-∠B，∠AMN=∠B=60°，
∴∠1=∠2．
又∵CN平分∠ACP，∠4=$\frac{1}{2}$∠ACP=60°，
∴∠MCN=∠3+∠4=120°…①
又∵BA=BC，DA=MC，
∴BA-DA=BC-MC，
即BD=BM，
∴△BDM為等邊三角形，
∴∠6=60°，
∴∠5=180°-∠6=120°，
∴由①②得∠MCN=∠5．
在△ADM和△MCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠1}\\{AD=MC}\\{∠5=∠MCN}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△MCN （ASA），
∴AM=MN．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是推出兩三角形全等．