Question

已知關(guān)于x的方程mx²-（4m+1）x+3m+3=0．
（1）試證明無論m為何值，方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）若拋物線y=mx²-（4m+1）x+3m+3與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)距離為n+2，設(shè)A（1，a）、B（b，2）兩點(diǎn)在動(dòng)點(diǎn)P（m，n）所形成的曲線上，求直線AB的解析式；
（3）若m＞0，當(dāng)-3≤x≤3時(shí)，二次函數(shù)y=mx²-（4m+1）x+3m+3有最小值-3，試求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）當(dāng)m=0時(shí)，求出x的值，當(dāng)m≠0時(shí)，求出△，判斷方程有兩個(gè)實(shí)根，進(jìn)而得出無論m為何值，方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）令y=0，求出與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)兩個(gè)交點(diǎn)距離為n+2，分兩種情況將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入，分別求出解析式‘
（3）先求出對稱軸為2+

1

2m

，分別當(dāng)2+

1

2m

＜-3，-3≤2+

1

2m

＜3，2+

1

2m

＞3時(shí)，根據(jù)最小值求出m的值．

解答：解：（1）當(dāng)m=0時(shí)，原方程為-x+3=0，則x=3，方程有實(shí)數(shù)根，
當(dāng)m≠0時(shí)，△=（4m+1）²-4m（3m+3）=（2m+1）²≥0，方程有兩個(gè)實(shí)根，
∴無論m為何值，方程總有實(shí)數(shù)根；

（2）令y=0，則mx²-（4m+1）x+3m+3=0，
∴x=3或x=

m-1

m

，
①當(dāng)3-

m-1

m

=n+2時(shí)，即n=

1

m

，
把A（1，a），B（b，2）代入n=

1

m

中，
∴A（1，-1），B（-

1

2

，2），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
代入得：

k+b=-1 - 1 2 k+b=2

，
解得：

k=-2 b=1

，
∴直線AB的解析式為y=-2x+1；
②當(dāng)

m-1

m

-3=n+2時(shí)，即n=-

1

m

-4，
同理可求A（1，-5），B（-6，2），
同理可得：直線AB的解析式為y=-x-4；

（3）∵m＞0，
∴拋物線的開口向上，且過定點(diǎn)（3，0），
而拋物線的對稱軸為x=

4m+1

2m

=2+

1

2m

，
①當(dāng)對稱軸x=2+

1

2m

＜-3時(shí)，函數(shù)在x=-3時(shí)取最小值，
由2+

1

2m

＜-3得：m＜-

1

10

，
而m＞0，不合題意．
②當(dāng)-3≤2+

1

2m

＜3時(shí)，
解得-

1

10

≤m＜

1

2

，

4m(3m+3)-(4m+1)2

4m

=-3，
解得：m₁=

4+ 15

2

（不合題意，舍去），m₂=

4- 15

2

；
③當(dāng)2+

1

2m

≥3時(shí)，
在-3≤x≤3時(shí)，即x=3，y_最小=0，不合題意．
綜上所述，m的值為：

4- 15

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查對用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，解二元一次方程組，根的判別式等知識點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，綜合性強(qiáng)，能力要求較高．考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．