Question

14．已知：如圖1，△ABC中，AD，BE是高，AD，BE交于點(diǎn)F，∠ABC=45°，CD=3，AF=1，連接CF
（1）判斷△DCF的形狀并說明理由；
（2）求AC和EF的長；
（3）如圖2，有一條長度為5的線段MN在射線AD上從點(diǎn)A向下運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)∠MNC與△BCF中的某個(gè)角度相等時(shí)，求AM的長．

Answer 1

分析 （1）由AD與BE為兩條高，得到一對(duì)直角相等，再由一對(duì)對(duì)頂角相等，利用內(nèi)角和定理得到∠CAD=∠FBD，根據(jù)∠ABC=45°，得到三角形ABD為等腰直角三角形，即AD=BD，利用ASA得到三角形ADC與三角形BDF全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；
（2）由CD=3，AF=1，得到AD=BD=4，AC=5，由于S_△ADC=S_△DCF+S_△AFC，于是得到12=9+5EF，即可得到結(jié)論；
（3）當(dāng)∠MNC=∠FCB=45°，求得∠SCN=MNC=45°，得到DN=3，且MN=5，ND=2，且AD=4，求出AM=2，推出△FDB≌△CDN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）△DCF是等腰直角三角形，
理由：∵AD、BE是△ABC的高線，
∴AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，∠AEB=90°，
∵∠ABC=45°，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∵∠EBC+∠BFD=90°，∠CAD+∠AFE=90°，∠AFE=∠BFD，
∴∠CAD=∠EBC，
在△BDF和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠EBC}\\{AD=BD}\\{∠ADC=∠BDF=90°}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△ADC（ASA），
∴CD=DF，
∴△DCF是等腰直角三角形；

（2）∵CD=3，AF=1，
∴AD=BD=4，
∴AC=5，
∵S_△ADC=S_△DCF+S_△AFC，
∴12=9+5EF，
∴EF=$\frac{3}{5}$；

（3）當(dāng)∠MNC=∠FCB=45°，
∴∠SCN=MNC=45°，
∴DN=3，且MN=5，
∴ND=2，且AD=4，
∴AM=2，
當(dāng)∠MNC=∠FBC，且FD=CD，∠FDC=CDN=90°，
在△FDB和△CDN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MNC=∠FBC}\\{FD=CD}\\{∠FDC=∠CDN=90°}\end{array}\right.$，
∴△FDB≌△CDN，
∴BD=DN=4，且MN=5，
∴MD=1，
∴AM=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．