Question

5．已知凸四邊形ABCD四邊的長AB、BC、AD、DC分別為1，9，9，8，且cosD=$\frac{7}{18}$，考慮下列命題：①四邊形ABCD是梯形；②四邊形ABCD的面積是$\frac{45\sqrt{11}}{4}$；③若M是BC的中點(diǎn)，則AM⊥DM；④若M是BC上一點(diǎn)，且AM⊥DM，則M是BC中點(diǎn)．其中正確命題的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 如圖1中，AE⊥CD于E，在EC上截取EF=ED，可以證明四邊形ABCF是平行四邊形由此推出①②正確，當(dāng)M是BC中點(diǎn)時(shí)，延長AM交DC的延長線于N，只要證明△ABM≌△NCM，得DA=DN，AM=MN，由此可以證明③正確，如圖2中，以AD為直徑畫圓與BC有兩個(gè)交點(diǎn)M、M′，∠AMD=∠AM′D=90°，由此可以說明④錯(cuò)誤．

解答 解：如圖1中，AE⊥CD于E，在EC上截取EF=ED，
在RT△AED中，∵∠AED=90°，AD=9，cos∠ADE=$\frac{7}{18}$，
∴$\frac{ED}{AD}$=$\frac{7}{18}$，
∴ED=EF=3.5，
∵AE⊥DF，ED=EF，
∴AF=AD=9=BC，CF=CD-FD=1=AB，
∴四邊形ABCF是平行四邊形，
∴AB∥CD，BC與AD不平行，
∴四邊形ABCD是梯形，故①正確．
∵AE=$\sqrt{A{D}^{2}-E{D}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{11}}{2}$，
∴S_梯形ABCD=$\frac{AB+CD}{2}•AE$=$\frac{45\sqrt{11}}{4}$，故②正確．
當(dāng)M是BC中點(diǎn)時(shí)，延長AM交DC的延長線于N，
∵AB∥DN，
∴∠B=∠MCN，
在△ABM和△NCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠MCN}\\{∠AMB=∠CMN}\\{BM=CM}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△NCM，
∴AB=CN=1，AM=MN，
∴DN=CN+CD=9=AD，
∴DM⊥AN，故③正確．
如圖2中，以AD為直徑畫圓與BC有兩個(gè)交點(diǎn)M、M′，∠AMD=∠AM′D=90°，
∴點(diǎn)M不一定是中點(diǎn)．
故④錯(cuò)誤．
故選C．

點(diǎn)評 本題考查命題與定理、三角函數(shù)、勾股定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造等腰三角形以及平行四邊形解決問題，題目比較難，屬于中考選擇題中的壓軸題．