【題目】已知,正方形ABPD的邊長為3,將邊DP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至PC,E、F分別為線段DP、CP上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與D、P、C重合),且DE=CF,連接BE并延長分別交DF、DC于H、G.
(1)①求證:△BPE≌△DPF,②判斷BG與DF位置關(guān)系并說明理由;
(2)當(dāng)PE的長度為多少時(shí),四邊形DEFG為菱形并說明理由;
(3)連接AH,在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)的過程中,∠AHB的大小是否發(fā)生改變?若改變,請(qǐng)說出是如何變化的;若不改變,請(qǐng)求出∠AHB的度數(shù).
【答案】(1)①見解析,②BG⊥DF;(2)當(dāng)PE=3﹣3時(shí),四邊形DEFG為菱形;
(3)45°.
【解析】分析:
(1)①由已知條件易得BP=DP=PC,∠BPE=∠DPF=90°結(jié)合DE=CF可得PE=PF,由此即可得到△BPE≌△DPF;②由△BPE≌△DPF可得∠EBP=∠FDP,結(jié)合∠FDP+∠BFH=90°,可得∠EBP+∠BFH=90°,從而可得∠BHP=90°,由此可得BG⊥DF;
(2)如下圖1,連接EF、GF,由題意可知,要使四邊形DEFG是菱形,則必須使DE=EF,由(1)中所得△BPE≌△DPF可得PF=PE,設(shè)PE=x,則DE=3-x=EF,由此在Rt△PEF中由勾股定理建立方程,解方程即可求得此時(shí)PE=x=,解題時(shí)把PE=作為一個(gè)條件,結(jié)合題目中的其它條件去證明此時(shí)四邊形DEFG為菱形即可;
(3)如圖2,連接BD,作出BD的中點(diǎn)O,連接AO,HO,由已知條件結(jié)合(1)中所得BG⊥DF易得OA=OB=OD=OH=BD,由此可得點(diǎn)A、B、H、D在以O為圓心、OA為半徑的圓上,從而可得∠AHB=∠ADB=45°.
詳解:
(1)①證明:由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,△DPC是等腰直角三角形,
∵四邊形ABPD是正方形,
∴BP=PD=PC,∠BPE=∠DPF=90°,
∵DE=CF,
∴PE=PF,
在△BPE和△DPF中,
BP=PD,∠BPE=∠DPF,PE=PF,
∴△BPE≌△DPF;
②∵△BPE≌△DPF,
∴∠EBP=∠FDP,又∠FDP+∠BFH=90°,
∴∠EBP+∠BFH=90°,
∴∠BHP=90°,
∴BG⊥DF;
(2)當(dāng)PE=時(shí),四邊形DEFG為菱形;理由如下:
在正方形ABPD中,BP=PD=3,
∵PE=,EF=PE,
∴EF==6﹣3,DE=PD-PE=6﹣3,
∴EF=ED,
∵BG⊥DF,
∴EG垂直平分DF,
∴GD=GF,
∵∠PEF=∠PDC=45°,
∴EF∥DG,
∴∠EFD=∠FDG,
∵DE=EF,
∴∠EFD=∠EDF,
∴∠EDG=∠FDE,
∵BG⊥DF,
∴∠DEG=∠DGE,
∴DE=DG,
∴DE=DG=GF=EF,
∴四邊形DEFG是菱形;
(3)∠AHB的大小不變,∠AHB=45°,
連接BD,取BD的中點(diǎn)O,連接OA、OH,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠BAD=90°,∠ADB=45°,
∵BG⊥DF,
∴∠DHB=90°,
則OA=OB=OD=OH=BD,
∴點(diǎn)A、B、H、D在以O為圓心、OA為半徑的圓上,
∴∠AHB=∠ADB=45°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】五一假期小明一家自駕去距家360km的某地游玩,全程的前一部分為高速公路,后一部分為鄉(xiāng)村公路.若小汽車在高速公路和鄉(xiāng)村公路上分別以某一速度勻速行駛,行駛的路程y(單位:km)與時(shí)間x(單位:h)之間的關(guān)系如圖所示,則下列結(jié)論正確的是( 。
A. 小汽車在鄉(xiāng)村公路上的行駛速度為60km/h
B. 小汽車在高速公路上的行駛速度為120km/h
C. 鄉(xiāng)村公路總長為90km
D. 小明家在出發(fā)后5.5h到達(dá)目的地
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=4,AC=6,∠ABC和∠ACB的平分線交于O點(diǎn),過點(diǎn)O作BC的平行線交AB于M點(diǎn),交AC于N點(diǎn),則△AMN的周長為( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中國海軍亞丁灣護(hù)航十年,中國海軍被亞丁灣上來往的各國商船譽(yù)為“值得信賴的保護(hù)傘”如圖,在一次護(hù)航行動(dòng)中,我國海軍監(jiān)測到一批可疑快艇正快速向護(hù)航的船隊(duì)靠近.為保證船隊(duì)安全,我國海軍迅速派出甲、乙兩架直升機(jī)分別從相距20海里的船隊(duì)首(O點(diǎn))尾(A點(diǎn))前去攔截,4分鐘后同時(shí)到達(dá)B點(diǎn)將可疑快艇驅(qū)離.已知甲直升機(jī)每小時(shí)飛行180海里,航向?yàn)楸逼珫|25°,乙直升機(jī)的航向?yàn)楸逼?/span>65°,求乙直升機(jī)的飛行速度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,CD為⊙O的直徑,點(diǎn)B在⊙O上,連接BC、BD,過點(diǎn)B的切線AE與CD的延長線交于點(diǎn)A,OE∥BD,交BC于點(diǎn)F,交AB于點(diǎn)E.
(1)求證:∠E=∠C;
(2)若⊙O的半徑為3,AD=2,試求AE的長;
(3)求△ABC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在RI△ABC中,∠C=90°,AC=BC=4cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿線段AB以cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts.過點(diǎn)P作PD⊥AB,PD與△ABC的腰相交于點(diǎn)D.
(1)當(dāng)t=(4-2)s時(shí),求證:△BCD≌△BPD;
(2)當(dāng)t為何值時(shí),S△APD=3S△BPD,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】長方形放置在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)軸,軸,.
(1)分別寫出點(diǎn)的坐標(biāo)______;______;________.
(2)在軸上是否存在點(diǎn),使三角形的面積為長方形ABCD面積的?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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【題目】.中學(xué)生帶手機(jī)上學(xué)的現(xiàn)象越來越受到社會(huì)的關(guān)注,為此某記者隨機(jī)調(diào)查了某市城區(qū)若干名中學(xué)生家長對(duì)這種現(xiàn)象的態(tài)度(態(tài)度分為:A.無所謂;B.基本贊成;C.贊成;D.反對(duì)).并將調(diào)查結(jié)果繪制成頻數(shù)折線統(tǒng)計(jì)圖1和扇形統(tǒng)計(jì)圖2(不完整).請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問題:
(1)此次抽樣調(diào)查中,共調(diào)查了 名中學(xué)生家長;
(2)求出圖2中扇形C所對(duì)的圓心角的度數(shù),并將圖1補(bǔ)充完整;
(3)根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果,請(qǐng)你估計(jì)該市城區(qū)6000名中學(xué)生家長中有多少名家長持反對(duì)態(tài)度.
圖1 圖2
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【題目】如圖1,在矩形紙片ABCD中,AB=3cm,AD=5cm,折疊紙片使B點(diǎn)落在邊AD上的E處,折痕為PQ,過點(diǎn)E作EF∥AB交PQ于F,連接BF.
(1)求證:四邊形BFEP為菱形;
(2)當(dāng)點(diǎn)E在AD邊上移動(dòng)時(shí),折痕的端點(diǎn)P、Q也隨之移動(dòng);
①當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)(如圖2),求菱形BFEP的邊長;
②若限定P、Q分別在邊BA、BC上移動(dòng),求出點(diǎn)E在邊AD上移動(dòng)的最大距離.
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